Question

在△ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，M是BC邊中點中點，連接MD和ME
（1）如圖1所示，若AB=AC，則MD和ME的數(shù)量關(guān)系是

 

（2）如圖2所示，若AB≠AC其他條件不變，則MD和ME具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請給出證明過程；
（3）在任意△ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，M是BC的中點，連接MD和ME，請在圖3中補全圖形，并直接判斷△MED的形狀．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線,等腰直角三角形,三角形中位線定理

專題：

分析：（1）由條件可以通過三角形全等和軸對稱的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論；
（2）取AB、AC的中點F、G，連接DF，MF，EG，MG，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出四邊形AFMG是平行四邊形，從而得出△DFM≌△MGE，根據(jù)其性質(zhì)就可以得出結(jié)論；
（3）取AB、AC的中點F、G，連接DF，MF，EG，MG，DF和MG相交于H，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)可以得出△DFM≌△MGE，由全等三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論；

解答：（1）MD=ME．   
解：∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，
∴∠ABD=∠DAB=∠ACE=∠EAC=45°，∠ADB=∠AEC=90°
在△ADB和△AEC中，

∠ADB=∠AEC ∠ABD=∠ACE AB=AC

，
∴△ADB≌△AEC（AAS），
∴BD=CE，AD=AE，
∵M是BC的中點，
∴BM=CM．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC+∠ABD=∠ACB+∠ACE，
即∠DBM=∠ECM．
在△DBM和△ECM中，

BD=CE ∠DBM=∠ECM BM=CM

，
∴△DBM≌△ECM（SAS），
∴MD=ME．
                             
（2）如圖，作DF⊥AB，EG⊥AC，垂足分別為F、G．
因為DF、EG分別是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形
ACE斜邊上的高，
所以F、G分別是AB、AC的中點．
又∵M是BC的中點，所以MF、MG是△ABC的中位線．
∴MF=

1

2

AC，MG=

1

2

AB，MF∥AC，MG∥AB．
∴∠BFM=∠BAC，∠MGC=∠BAC．
∴∠BFM=∠MGC．所以∠DFM=∠MGE．
∵DF、EG分別是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜邊上的中線，
∴EG=

1

2

AC，DF=

1

2

AB．
∴MF=EG，DF=MG．                 
在△DFM與△MGE中，

MF=EG ∠DFM=∠MGE DF=MG

，
∴△DFM≌△MGE（SAS）．
∴DM=ME．                      
∠FMD=∠GEM
∴∠DME=∠FMD+∠FMG+∠GME=∠GEM+∠MGC+∠GME
∵EG⊥AC
∴∠EGC=90°
∵∠GEM+∠MGC+∠GME+∠EGC=180°
∴∠DME=90°   
∴DM⊥EM．

（3）如圖所示：
△MDE是等腰直角三角形．

點評：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，等腰三角形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，三角形的中位線的性質(zhì)的運用，直角三角形的斜邊上的中線的性質(zhì)的運用，解答時根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)制造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．