Question

如圖，CA、CB為⊙O的切線，切點分別為A、B．直徑延長AD與CB的延長線交于點E． AB、CO交于點M，連接OB．
（1）求證：∠ABO=

1

2

∠ACB；
（2）若sin∠EAB=

10

10

，CB=12，求⊙O 的半徑及

BE

AE

的值．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),解直角三角形

專題：

分析：（1）由切線長定理及切線的性質(zhì)得CA=CB，∠BCO=

1

2

∠ACB，∠CBO=90°，CO⊥AB于是得∠ABO=∠BCO，所以∠ABO=

1

2

∠ACB；
（2）由半徑相等得∠EAB=∠ABO，所以∠BCO=∠EAB，sin∠BCO=sin∠EAB=

10

10

，求得OB=4即⊙O 的半徑為4；再由△OBE∽△CAE得

BE

AE

=

OB

CA

．因為
CA=CB=12，所以

BE

AE

=

1

3

．

解答：（1）證明：∵CA、CB為⊙O的切線，
∴CA=CB，∠BCO=

1

2

∠ACB，
∴∠CBO=90°．
∴CO⊥AB．
∴∠ABO+∠CBM=∠BCO+∠CBM=90°．
∴∠ABO=∠BCO．
∴∠ABO=

1

2

∠ACB．    
（2）解：∵OA=OB，
∴∠EAB=∠ABO．
∴∠BCO=∠EAB．
∵sin∠BCO=sin∠EAB=

10

10

．
∴

OB

CB

=

1

3

．
∵CB=12，
∴OB=4． 
即⊙O 的半徑為4．
∴∠OBE=∠CAE=90°，∠E=∠E，
∴△OBE∽△CAE．
∴

BE

AE

=

OB

CA

．
∵CA=CB=12，
∴

BE

AE

=

1

3

．

點評：本題主要考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及解直角三角形．本題綜合性較強．