Question

【題目】正方形中，點(diǎn)是上一點(diǎn)，過點(diǎn)作交射線于點(diǎn)，連結(jié)．

（1）已知點(diǎn)在線段上.

①若，求度數(shù)；

②求證：.

（2）已知正方形邊長(zhǎng)為，且，請(qǐng)直接寫出線段的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）①；②見解析；（2）的長(zhǎng)為或

【解析】

(1) ①根據(jù)正方形性質(zhì)，求出；根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，求出的度數(shù)，即可求得.

②根據(jù)正方形對(duì)稱性得到；根據(jù)四邊形內(nèi)角和證出；利用等角對(duì)等邊即可證出.

（2）分情況討論：①當(dāng)點(diǎn)F在線段BC上時(shí); ②當(dāng)點(diǎn)F在線段CB延長(zhǎng)線上時(shí);根據(jù)正方形的對(duì)稱性，證出；再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求出線段NC，BN；利用勾股定理，求出BE、BD，進(jìn)而求出DE.

解：（1）①為正方形，

．

又，

．

②證明：正方形關(guān)于對(duì)稱，

，

．

又，

又

，

，

．

（2）①當(dāng)點(diǎn)F在線段BC上時(shí)，過E作MN⊥BC，垂足為N，交AD于M，如圖1所示：

∴N是CF的中點(diǎn)，

∴BF=1，∴CF=1

又∵四邊形CDMN是矩形

∴為等腰直角三角形

∴

②當(dāng)點(diǎn)F在線段CB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2所示：

過點(diǎn)E作MN⊥BC，垂足為N，交AD于M

∵正方形ABCD關(guān)于BD對(duì)稱

又∵

又

∴FC=3

∴

∴

∴ ,

綜上所述，的長(zhǎng)為或