Question

農(nóng)科院研發(fā)了一種新型農(nóng)作物復(fù)合肥料，市場(chǎng)調(diào)研結(jié)果如下：年產(chǎn)量為x（噸）時(shí)，所需的全部費(fèi)用y（萬(wàn)元）與x（噸）滿足關(guān)系式y(tǒng)=5x+90，投入市場(chǎng)后當(dāng)年能全部售出，且在甲、乙兩地每噸的售價(jià)Z_甲、Z_乙（萬(wàn)元）均與x（噸）滿足一次函數(shù)關(guān)系．（注：年利潤(rùn)=年銷售額-全部費(fèi)用）
（1）當(dāng)x噸復(fù)合肥料僅在甲地銷售時(shí)，Z_甲=-

1

5

x+16，用含x的代數(shù)式表示甲地當(dāng)年的銷售額

 

，甲地當(dāng)年的利潤(rùn)W_甲（萬(wàn)元）與x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式為

 

．
（2）當(dāng)x噸復(fù)合肥料僅在乙地銷售時(shí)，Z_乙=-

1

2

x+n（n為常數(shù)），且在乙地當(dāng)年的最大年利潤(rùn)為72萬(wàn)元，是確定n的值；
（3）如果開(kāi)發(fā)商準(zhǔn)備在將生產(chǎn)的42噸復(fù)合肥料在甲、乙兩地同時(shí)銷售，設(shè)在甲地的銷售量為t噸，寫出在兩地所獲的銷售利潤(rùn)之和W（萬(wàn)元）與t（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式，并請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算幫助開(kāi)發(fā)商決策，在甲、乙兩地各銷售多少噸復(fù)合肥料時(shí)獲得的銷售利潤(rùn)之和最大，最大利潤(rùn)是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）根據(jù)銷量乘以單價(jià)=甲地當(dāng)年的銷售額，再利用甲地當(dāng)年的銷售額-全部費(fèi)用=利潤(rùn)W_甲求出即可；
（2）利用二次函數(shù)最值公式得出關(guān)于n的關(guān)系式，求出即可；
（3）根據(jù)在甲地的銷售量為t噸，則在乙地的銷售量為（42-t）噸，根據(jù)W=（-

1

5

t+16）t+[-

1

2

（42-t）+23]×（42-t）-（5×42+90），進(jìn)而利用公式法求出即可．

解答：解：（1）甲地當(dāng)年的銷售額為：x（-

1

5

x+16）=-

1

5

x²+16x，
甲地當(dāng)年的利潤(rùn)W_甲（萬(wàn)元）與x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系式為：
W_甲=-

1

5

x²+16x-（5x+90）=-

1

5

x²+11x-90，
故答案為：-

1

5

x2+16x，w甲=-

1

5

x2+11x-90．   

（2）w_乙=z_乙•x-y=-

1

2

x2+(n-5)x-90．    
∵最大年利潤(rùn)為72萬(wàn)元，
∴

4×(- 1 2 )×(-90)-(n-5)2

4×(- 1 2 )

=72，整理，得n²-10n-299=0．
解得n₁=23，n₂=-13（舍）．
∴n=23．   

（3）∵在甲地的銷售量為t噸，∴在乙地的銷售量為（42-t）噸，
∴W=（-

1

5

t+16）t+[-

1

2

（42-t）+23]×（42-t）-（5×42+90）．
即w=-

7

10

t2+35t-216．
∵-

7

10

＜0，∴拋物線開(kāi)口向下，w有最大值，
∴當(dāng)t=-

35

2×(- 7 10 )

=25時(shí)，
w最大值=

4×(- 7 10 )×(-216)-352

4×(- 7 10 )

=221.5．
∴42-t=42-25=17，
答：在甲地銷售25噸，在乙地銷售17噸復(fù)合肥料時(shí)，獲得的銷售利潤(rùn)之和最大，最大利潤(rùn)是221.5萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及最值公式應(yīng)用，正確把握二次函數(shù)最值公式是解題關(guān)鍵．