【題目】如圖,在梯形中,,.為邊的中點,以為頂點作,射線交腰于點,射線交腰于點,聯(lián)結(jié).

1)求證:

2)若是以為腰的等腰三角形,求的長;

3)若,求的長.

【答案】1)見解析;(2;(3.

【解析】

1)先根據(jù)相似三角形的判定證出:,從而得出,再結(jié)合已知條件可得:,從而證出:.

2)根據(jù)腰的情況分類討論:①若BM=EM=3時,根據(jù)相似三角形的性質(zhì),可證出:FM=EF,CF=FM,從而證出:∠B=∠FMB,再根據(jù)平行線的判定即可得:MFAB,連接DM根據(jù)平行四邊形的判定可得:四邊形ABMD是平行四邊形,從而證出:MDAB,故可判定此時DF重合,從此得出EF=FM=FC=DC=6;②若BM=BE=3時,易證EF為梯形ABCD的中位線,從而求出EF;

3)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和已知條件可得:,過點,過點A,然后求出cosB,設(shè),則,根據(jù)勾股定理:,根據(jù)BHHM=BM即可求出BE.

1)在梯形中,

,,

,

,

,

.

.

.

,即.

,

.

2)∵,點為邊的中點

BM=

①若BM=EM=3

,

,

FM=EF

CF=FM

∴∠C=∠FMB

∴∠B=∠FMB

MFAB

連接DM

AD=BM=3ADBM

∴四邊形ABMD是平行四邊形

MDAB

∴此時D、F重合

EF=FM=FC=DC=6

②若BM=BE=3時,

EAB的中點

CF=CM=3

FCD的中點

EF為梯形ABCD的中位線

EF=

綜上所述:.

3,,

.

過點,過點A

BN=

cosB=

設(shè),

,根據(jù)勾股定理:,

BHHM=BM

,

.

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