【題目】如圖,已知ABCD中,AB=16,AD=10,sinA=,點M為AB邊上一動點,過點M作MN⊥AB,交AD邊于點N,將∠A沿直線MN翻折,點A落在線段AB上的點E處,當△CDE為直角三角形時,AM的長為_____.
【答案】4或8﹣
【解析】
①當∠CDE=90°,如圖1,根據(jù)折疊的性質(zhì)得到MN⊥AB,AM=EM,得到AN=DN=AD=5,設MN=3x,AN=5x=5,于是得到AM=4;②當∠DEC=90°,如圖2,過D作DH⊥AB于H,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到,由sinA=,AD=10,得到DH=6,AH=8,設HE=x,根據(jù)勾股定理求出x的值,繼而求得AE的值,從而得到AM的值,即可得到結(jié)論.
當△CDE為直角三角形時,
①當∠CDE=90°,如圖1,
∵在ABCD中,AB∥CD,
∴DE⊥AB,
∵將∠A沿直線MN翻折,點A落在線段AB上的點E處,
∴MN⊥AB,AM=EM,
∴MN∥DE,
∴AN=DN=AD=5,
∵sinA=,
∴設MN=3x,AN=5x=5,
∴MN=3,
∴AM=4;
②當∠DEC=90°,如圖2,
過D作DH⊥AB于H,
∵AB∥CD,
∴∠HDC=90°,
∴∠HDC+∠CDE=∠CDE+∠DCE=90°,
∴∠HDE=∠DCE,
∴△DHE∽△CED,
∴,
∵sinA=,AD=10,
∴DH=6,
∴AH=8,
設HE=x,
∴DE=,
∵DH2+HE2=DE2,
∴62+x2=16x,
∴x=8﹣2,x=8+2(不合題意舍去),
∴AE=AH+HE=16﹣2,
∴AM=AE=8﹣,
綜上所述,AM的長為4或8﹣,
故答案為:4或8﹣.
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【題目】綜合與探究
如圖,拋物線y=﹣x2﹣x+與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,直線l經(jīng)過B、C兩點,點M從點A出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向終點B運動,連接CM,將線段MC繞點M順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MD,連接CD、BD.設點M運動的時間為t(t>0),請解答下列問題:
(1)求點A的坐標與直線l的表達式;
(2)①請直接寫出點D的坐標(用含t的式子表示),并求點D落在直線l上時t的值;
②求點M運動的過程中線段CD長度的最小值.
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【題目】關(guān)于x的一元二次方程x2﹣(m﹣3)x﹣m2=0.
(1)證明:方程總有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)設這個方程的兩個實數(shù)根為x1,x2,且|x1|=|x2|﹣2,求m的值及方程的根.
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【題目】已知拋物線經(jīng)過E(4,5),F(2,-3),G(-2,5),H(1,-4)四個點,選取其中兩點用待定系數(shù)法能求出該拋物線解析式的是( )
A.E,FB.F,GC.F,HD.E,G
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2﹣2ax﹣3(a≠0)與x軸交于A,B兩點(點A在點B左側(cè)).
(1)求拋物線的對稱軸;
(2)若AB=4,求該拋物線的解析式;
(3)若AB≤4,直接寫出a的取值范圍.
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【題目】某商場購進一批單價為4元的日用品.若按每件5元的價格銷售,每月能賣出3萬件;若按每件6元的價格銷售,每月能賣出2萬件,假定每月銷售件數(shù)y(件)與價格x(元/件)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系.
(1)試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當銷售價格定為多少時,才能使每月的利潤最大?每月的最大利潤是多少?
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【題目】如圖,在梯形中,,,.點為邊的中點,以為頂點作,射線交腰于點,射線交腰于點,聯(lián)結(jié).
(1)求證:;
(2)若是以為腰的等腰三角形,求的長;
(3)若,求的長.
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【題目】如圖,在ABCD中 過點A作AE⊥DC,垂足為E,連接BE,F(xiàn)為BE上一點,且∠AFE=∠D.
(1)求證:△ABF∽△BEC;
(2)若AD=5,AB=8,sinD=,求AF的長.
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【題目】2016年3月國際風箏節(jié)期間,王大伯決定銷售一批風箏,經(jīng)市場調(diào)研:蝙蝠型風箏進價每個為10元,當售價每個為12元時,銷售量為180個,若售價每提高1元,銷售量就會減少10個,請回答以下問題:
(1)用表達式表示蝙蝠型風箏銷售量y(個)與售價x(元)之間的函數(shù)關(guān)系(12≤x≤30);
(2)王大伯為了讓利給顧客,并同時獲得840元利潤,售價應定為多少?
(3)當售價定為多少時,王大伯獲得利潤W最大,最大利潤是多少?
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