Question

如圖，點B、點C都在x軸上，其中點B（-30，0）、C（-20，0），A在第二象限中，△ABO中，∠ABO=45°，∠AOB=30°，過點C作x軸的垂線，與AO交于點E．
（1）求點E的坐標(biāo)；
（2）過點C作CG⊥AO，垂足為G，求△CEG的面積；
（3）已知點F為OC中點，在△ABO的邊上取兩點P、Q，是否存在以C、P、Q為頂點的三角形與△CFP全等，且這兩個三角形在CP的異側(cè)？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì)

專題：

分析：（1）由∠AOB=30°和OC=20可求得CE的長度，則可得出E點坐標(biāo)；
（2）由（1）可求得CG的長度，在Rt△CEG中利用三角函數(shù)可求得EG，可求得△CEG的面積；
（3）分兩種情況討論求解：①點Q在AC上；②點Q在AB上．求直線OP與直線AC的交點坐標(biāo)即 可．

解答：解：（1）∵C（-20，0），
∴OC=20，且∠AOB=30°，
∴EC=OCtan30°=20×

3

3

=

20 3

3

，
∴E點坐標(biāo)為（-20，

20 3

3

）；
（2）∵CE⊥BO，
∴∠CEG=90°-∠AOB=60°，
在Rt△CEG中，CE=

20 3

3

，
∴EG=

1

2

CE=

10 3

3

，CG=

3

2

CE=10，
∴S_△CEG=

1

2

EG•CG=

1

2

×

10 3

3

×10=

50 3

3

；
（3）存在，
∵∠AOB=30°，
∴直線AO的解析式為y=-

3

3

x，
①當(dāng)點Q在AO上時，Q即為G點，
如圖1，作∠OCF的角平分線，交AO于點P₁，

由△CQP₁≌△CFP₁，則有P₁F⊥x軸，
此時P₁點的橫坐標(biāo)為-10，代入AO解析式可求得y=

10 3

3

，
即P₁坐標(biāo)為（-10，

10 3

3

）；
②當(dāng)點Q在AB上時，如圖2，有CQ=CF，作∠FCQ的角平分線交AO于點P₂，

過點Q作QH⊥OB于點H，設(shè)OH=a，
則BH=QH=10-a，
在Rt△CQH中，a²+（10-a）²=100，
解得：a=0，即此時不存在滿足條件的P點．
綜上可知存在滿足條件的P點，其坐標(biāo)為（-10，

10 3

3

）．

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．