Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，菱形EFGH的三個頂點E、G、H分別在矩形ABCD的邊AB、CD、DA上，AH＝2.

(1)已知DG＝6，求AE的長；

(2)已知DG＝2，求證：四邊形EFGH為正方形．

Answer 1

【答案】（1）AE＝4；（2）詳見解析.

【解析】

（1）先根據矩形的性質，利用勾股定理列出表達式：HG2=DH2+DG2，HE2=AH2+AE2，再根據菱形的性質，得到等式DH2+DG2=AH2+AE2，最后計算AE的長；
（2）先根據已知條件，用HL判定Rt△DHG≌Rt△AEH，得到菱形的一組鄰邊相等，進而判定該菱形為正方形．

(1)解　∵AD＝6，AH＝2，

∴DH＝AD－AH＝4，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠D＝90°，

∴在Rt△DHG中，HG2＝DH2＋DG2，

在Rt△AEH中，HE2＝AH2＋AE2，

∵四邊形EFGH是菱形，

∴HG＝HE，

∴DH2＋DG2＝AH2＋AE2，

即42＋62＝22＋AE2，

∴AE＝＝4.

(2)證明∵AH＝2，DG＝2，

∴AH＝DG，

∵四邊形EFGH是菱形，

∴HG＝HE，

在Rt△DHG和Rt△AEH中，

∴Rt△DHG≌Rt△AEH(HL)，

∴∠DHG＝∠AEH，

∵∠AEH＋∠AHE＝90°，

∴∠DHG＋∠AHE＝90°，

∴∠GHE＝90°，

∵四邊形EFGH是菱形，

∴四邊形EFGH是正方形．