Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線，交BC于E．
（1）求證：點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)；
（2）求證：BC²=BD•BA；
（3）當(dāng)以點(diǎn)O、D、E、C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，求證：△ABC是等腰直角三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),正方形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）利用切線的性質(zhì)及圓周角定理證明；
（2）利用相似三角形證明；
（3）利用正方形的性質(zhì)證明．

解答：證明：（1）如圖，連接OD．

∵DE為切線，
∴∠EDC+∠ODC=90°；
∵∠ACB=90°，
∴∠ECD+∠OCD=90°．
又∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠EDC=∠ECD，
∴ED=EC；
∵AC為直徑，
∴∠ADC=90°，
∴∠BDE+∠EDC=90°，∠B+∠ECD=90°，
∴∠B=∠BDE，
∴ED=BE．
∴EB=EC，即點(diǎn)E為邊BC的中點(diǎn)；

（2）∵AC為直徑，
∴∠ADC=∠ACB=∠BDC=90°，
又∵∠B=∠B
∴△ABC∽△CDB，
∴

AB

BC

=

BC

BD

，
∴BC²=BD•BA；

（3）當(dāng)四邊形ODEC為正方形時(shí)，∠OCD=45°；
∵AC為直徑，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=∠ADC-∠OCD=90°-45°=45°
∴Rt△ABC為等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題是幾何證明題，綜合考查了切線性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形、正方形、等腰直角三角形等知識(shí)點(diǎn)．試題著重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，難度不大．