Question

如圖1，點O在線段AB上，AO=2，OB=1，OC為射線，且∠BOC=60°，動點P以每秒2個單位長度的速度從點O出發(fā)，沿射線OC做勻速運動，設(shè)運動時間為t秒．
（1）當t=

1

2

秒時，則OP=

 

，S_△ABP=

 

；
（2）當△ABP是直角三角形時，求t的值；
（3）如圖2，當AP=AB時，過點A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求證：AQ•BP=3．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：幾何動點問題,壓軸題

分析：（1）如答圖1所示，作輔助線，利用三角函數(shù)或勾股定理求解；
（2）當△ABP是直角三角形時，有三種情形，需要分類討論；
（3）如答圖4所示，作輔助線，構(gòu)造一對相似三角形△OAQ∽△PBO，利用相似關(guān)系證明結(jié)論．

解答：（1）解：當t=

1

2

秒時，OP=2t=2×

1

2

=1．
如答圖1，過點P作PD⊥AB于點D．

在Rt△POD中，PD=OP•sin60°=1×

3

2

=

3

2

，
∴S_△ABP=

1

2

AB•PD=

1

2

×（2+1）×

3

2

=

3 3

4

．

（2）解：當△ABP是直角三角形時，
①若∠A=90°．
∵∠BOC=60°且∠BOC＞∠A，
∴∠A≠90°，故此種情形不存在；
②若∠B=90°，如答圖2所示：

∵∠BOC=60°，
∴∠BPO=30°，
∴OP=2OB=2，又OP=2t，
∴t=1；
③若∠APB=90°，如答圖3所示：

過點P作PD⊥AB于點D，則OD=OP•sin30°=t，PD=OP•sin60°=

3

t，
∴AD=OA+OD=2+t，BD=OB-OD=1-t．
在Rt△ABP中，由勾股定理得：PA²+PB²=AB²
∴（AD²+PD²）+（BD²+PD²）=AB²，
即[（2+t）²+（

3

t）²]+[（1-t）²+（

3

t）²]=3²
解方程得：t=

-1+ 33

8

或t=

-1- 33

8

（負值舍去），
∴t=

-1+ 33

8

．
綜上所述，當△ABP是直角三角形時，t=1或t=

-1+ 33

8

．

（3）證明：如答圖4，過點O作OE∥AP，交PB于點E，
則有

BE

PE

=

OB

OA

=

1

2

，
∴PE=

2

3

PB．

∵AP=AB，
∴∠APB=∠B，
∵OE∥AP，
∴∠OEB=∠APB，
∴∠OEB=∠B，
∴OE=OB=1，∠3+∠B=180°．
∵AQ∥PB，
∴∠OAQ+∠B=180°，
∴∠OAQ=∠3；
∵∠AOP=∠1+∠QOP=∠2+∠B，∠QOP=∠B，
∴∠1=∠2；
∴△OAQ∽△PEO，
∴

AQ

OE

=

OA

PE

，即

AQ

1

=

2

2 3 PB

，
化簡得：AQ•PB=3．

點評：本題是運動型綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理、一元二次方程等多個知識點．第（2）問中，解題關(guān)鍵在于分類討論思想的運用；第（3）問中，解題關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，本問有多種解法，可探究嘗試．