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【題目】如圖①,在等腰ABCADE中,AB=AC,AD=AE,且∠BAC=DAE=120°.

(1)求證:ABD≌△ACE;

(2)把ADE繞點A逆時針方向旋轉到圖②的位置,連接CD,點M、P、N分別為DE、DC、BC的中點,連接MN、PN、PM,判斷PMN的形狀,并說明理由;

(3)在(2)中,把ADE繞點A在平面內自由旋轉,若AD=4,AB=6,請分別求出PMN周長的最小值與最大值.

【答案】(1)證明見解析;(2)PMN是等邊三角形.理由見解析;(3)PMN周長的最小值為3,最大值為15.

【解析】

(1)由∠BAC=∠DAE=120°,可得∠BAD=∠CAE,再由AB=AC,AD=AE,利用SAS即可判定△ABD≌△ADE;(2)△PMN是等邊三角形,利用三角形的中位線定理可得PM=CE,PM∥CE,PN=BD,PN∥BD,(1)的方法可得BD=CE,即可得PM=PN,所以△PMN是等腰三角形;再由PM∥CE,PN∥BD,根據平行線的性質可得∠DPM=∠DCE,∠PNC=∠DBC,因為∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC, 所以∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC,再由∠BAC=120°,可得∠ACB+∠ABC=60°,即可得∠MPN=60°,所以△PMN是等邊三角形;(3)由(2)知,△PMN是等邊三角形,PM=PN=BD,所以當PM最大時,△PMN周長最大,當點DAB上時,BD最小,PM最小,求得此時BD的長,即可得△PMN周長的最小值;當點DBA延長線上時,BD最大,PM的值最大,此時求得△PMN周長的最大值即可.

(1)因為∠BAC=∠DAE=120°,

所以∠BAD=∠CAE,又AB=AC,AD=AE,

所以△ABD≌△ADE;

(2)△PMN是等邊三角形。

理由:P,M分別是CD,DE的中點,

∴PM=CE,PM∥CE,

N,M分別是BC,DE的中點,

∴PN=BD,PN∥BD,

(1)的方法可得BD=CE,

∴PM=PN,

∴△PMN是等腰三角形,

∵PM∥CE,∴∠DPM=∠DCE,

∵PN∥BD,∴∠PNC=∠DBC,

∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC,

∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC

=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC,

∵∠BAC=120°,∴∠ACB+∠ABC=60°,

∴∠MPN=60°,

∴△PMN是等邊三角形。

(3)由(2)知,△PMN是等邊三角形,PM=PN=BD,

∴PM最大時,△PMN周長最大,

DAB上時,BD最小,PM最小,

∴BD=AB-AD=2,△PMN周長的最小值為3;

DBA延長線上時,BD最大,PM最大,

∴BD=AB+AD=10,△PMN周長的最大值為15。

故答案為:△PMN周長的最小值為3,最大值為15

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