Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，兩個全等的直角三角形的直角頂點及一條直角邊重合，點A在第二象限內(nèi)，點B、點C在x軸的負(fù)半軸上，∠CAO=30°，OA=4．將△ACB繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)到△A′CB′的位置如圖2，其中A′C交直線OA于點E，A′B′分別交直線OA、CA于點F、G，當(dāng)△COE的面積為

3

時，則圖象過點B′的反比例函數(shù)表達(dá)式為

 

．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：過E作EM⊥x軸，過B′作B′N⊥x軸，在直角三角形AOC中，利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，根據(jù)OA的長求出OC的長，由三角形OCE的面積求出EM的長，在直角三角形EOM中，利用銳角三角函數(shù)定義求出OE=2，得到OE=OC，進(jìn)而確定出三角形EOC為等邊三角形，確定出∠B′CN=30°，在直角三角形B′CN中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半求出B′N的長，利用勾股定理求出CN的長，由OC+CN求出ON的長，表示出B′坐標(biāo)，設(shè)過點B′的反比例函數(shù)表達(dá)式為y=

k

x

，將B′坐標(biāo)代入求出k的值，即可確定出過點B′的反比例函數(shù)表達(dá)式．

解答：解：過E作EM⊥x軸，過B′作B′N⊥x軸，
在Rt△AOC中，∠CAO=30°，OA=4，
∴OC=2，∠AOC=60°，
∵S_△COE=

1

2

OC•EM=

1

2

×2EM=

3

，
∴EM=

3

，
在Rt△OEM中，∠EOM=60°，EM=

3

，
∴OE=

EM

sin60°

=2，
∵OC=OE=2，且∠AOC=60°，
∴△EOC為等邊三角形，
∴∠ECO=60°，
∵∠A′CB′=90°，
∴∠B′CN=30°，
∵△A′CB′≌△ACO，
∴B′C=OC=2，
在Rt△B′CN中，B′N=

1

2

B′C=1，
根據(jù)勾股定理得：NC=

22-12

=

3

，
∴ON=OC+CN=2+

3

，
∴B′（-2-

3

，1），
設(shè)過點B′的反比例函數(shù)表達(dá)式為y=

k

x

，
將B′坐標(biāo)代入得：k=-2-

3

，
則過點B′的反比例函數(shù)表達(dá)式為y=-

2+ 3

x

．
故答案為：y=-

2+ 3

x

點評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：含30度直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，以及待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．