Question

如圖，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐標(biāo)系中，A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（3，0）和(0，3）.動點(diǎn)P從A點(diǎn)開始沿折線AO-OB-BA運(yùn)動，點(diǎn)P在AO，OB，BA上運(yùn)動的面四民﹒數(shù)學(xué)興趣小組對捐款情況進(jìn)行了抽樣調(diào)查，速度分別為1，，2 (長度單位/秒)﹒一直尺的上邊緣l從x軸的位置開始以 (長度單位/秒)的速度向上平行移動（即移動過程中保持l∥x軸），且分別與OB，AB交于E，F兩點(diǎn)﹒設(shè)動點(diǎn)P與動直線l同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)P沿折線AO-OB-BA運(yùn)動一周時(shí)，直線l和動點(diǎn)P同時(shí)停止運(yùn)動．

              請解答下列問題：

           （1）過A，B兩點(diǎn)的直線解析式是  ▲  ；

（2）當(dāng)t﹦4時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為  ▲   ；當(dāng)t ﹦  ▲   ，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合；

       （3）① 作點(diǎn)P關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)P′. 在運(yùn)動過程中，若形成的四邊形PEP′F為菱形，則t的值是多少？

② 當(dāng)t﹦2時(shí)，是否存在著點(diǎn)Q，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

    解：（1）；  （2）（0,），；

   （3）①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，過作⊥軸，為垂足（如圖1）

          ∵,,∠∠90°

          ∴△≌△，∴﹒

又∵,∠60°,∴

          而，∴,

          由得  ；

          當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，形成的是三角形，不存在菱形；

          當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，

過P作⊥，⊥，、分別為垂足（如圖2）

          ∵,∴,∴

          ∴， 又∵

          在Rt△中，

          即，解得．

y

②存在﹒理由如下：

          ∵，∴,，

將△繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到

△（如圖3）

          ∵⊥，∴點(diǎn)在直線上，

                C點(diǎn)坐標(biāo)為（，－1）

          過作∥，交于點(diǎn)Q,

則△∽△

          由，可得Q的坐標(biāo)為（－，）

根據(jù)對稱性可得，Q關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)（－，）也符合條件．