【題目】如圖,已知直線AB經過⊙O上的點C,并且OA=OB,CA=CB,
(1)求證:直線AB是⊙O的切線;
(2)OA,OB分別交⊙O于點D,E,AO的延長線交⊙O于點F,若AB=4AD,求sin∠CFE的值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)根據等腰三角形性質得出OC⊥AB,根據切線的判定得出即可;
(2)連接OC、DC,證△ADC∽△ACF,求出AF=4x,CF=2DC,根據勾股定理求出DC=x,DF=3x,解直角三角形求出sin∠AFC,即可求出答案.
(1)證明:連接OC,如圖1,
∵OA=OB,AC=BC,
∴OC⊥AB,
∵OC過O,
∴直線AB是⊙O的切線;
(2)解:連接OC、DC,如圖2,
∵AB=4AD,
∴設AD=x,則AB=4x,AC=BC=2x,
∵DF為直徑,
∴∠DCF=90°,
∵OC⊥AB,
∴∠ACO=∠DCF=90°,
∴∠OCF=∠ACD=90°﹣∠DCO,
∵OF=OC,
∴∠AFC=∠OCF,
∴∠ACD=∠AFC,
∵∠A=∠A,
∴△ADC∽△ACF,
∴,
∴AF=2AC=4x,FC=2DC,
∵AD=x,
∴DF=4x﹣x=3x,
在Rt△DCF中,(3x)2=DC2+(2DC)2,
解得:DC=x,
∵OA=OB,AC=BC,
∴∠AOC=∠BOC,
∴,
∴∠CFE=∠AFC,
∴sin∠CFE=sin∠AFC==.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】四邊形ABCD是正方形,△BEF是等腰直角三角形,∠BEF=90°,BE=EF,連接DF,G為DF的中點,連接EG,CG,EC.
(1)問題發(fā)現(xiàn):如圖1,若點E在CB的延長線上,直接寫出EG與GC的位置關系及的值;
(1)操作探究:將圖1中的△BEF繞點B順時針旋轉至圖2所示位置,請問(1)中所得的結論是否仍然成立?若成立,請寫出證明過程;若不成立,請說明理由;
(2)解決問題:將圖1中的△BEF繞點B順時針旋轉,若BE=1,AB=,當E,F,D三點共線時,請直接寫出CE的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線AB與函數(shù)y=(x>0)的圖象交于點A(m,2),B(2,n).過點A作AC平行于x軸交y軸于點C,在y軸負半軸上取一點D,使OD=OC,且△ACD的面積是6,連接BC.
(1)求m,k,n的值;
(2)求△ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,AD=2AB,F是AD的中點,作CE⊥AB,垂足E在線段AB上,連接EF、CF,則下列結論中一定成立的是_____(把所有正確結論的序號部填在橫線上).①∠AEF=∠DFE;②S△BEC=2S△CEF;③EF=CF;④∠BCD=2∠DCF.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】新區(qū)一中為了了解同學們課外閱讀的情況,現(xiàn)對初三某班進行了“你最喜歡的課外書籍類別”的問卷調查.用“"表示小說類書籍,“”表示文學類書籍,“”表示傳記類書籍,“”表示藝術類書籍.根據問卷調查統(tǒng)計資料繪制了如下兩副
不完整的統(tǒng)計圖.
請你根據統(tǒng)計圖提供的信息解答以下問題:
(1)本次問卷調查,共調查了 名學生,請補全條形統(tǒng)計圖;
(2)在接受問卷調查的學生中,喜歡“”的人中有2名是女生,喜歡“”的人中有2名是女生,現(xiàn)分別從喜歡這兩類書籍的學生中各選1名進行讀書心得交流,請用畫樹狀圖或列表法求出剛好選中2名是一男一女的概率.
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【題目】如圖,直線與反比例函數(shù)的圖象交于點和點.
(1)求直線和反比例函數(shù)的解析式;
(2)若直線與軸、軸分別交于點、,嘉淇認為,請通過計算說明她的觀點是否正確.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,對稱軸為直線x=2,點A的坐標為(1,0).
(1)求該拋物線的表達式及頂點坐標;
(2)點P為拋物線上一點(不與點A重合),連接PC.當∠PCB=∠ACB時,求點P的坐標;
(3)在(2)的條件下,將拋物線沿平行于y軸的方向向下平移,平移后的拋物線的頂點為點D,點P的對應點為點Q,當OD⊥DQ時,求拋物線平移的距離.
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