Question

菱形ABCD中，AB=

2

，∠B=45°，求AC²和BD²．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)

專題：

分析：作出圖形，過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，判斷出△ABE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AE=BE=1，再求出CE，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可求出AC²，利用菱形的面積列式求出AC•BD，然后代入進(jìn)行計(jì)算即可求出BD²．

解答：解：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，
∵∠B=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=BE=

2

2

AB=

2

2

×

2

=1，
∴CE=BC-BE=

2

-1，
在Rt△ACE中，AC²=AE²+CE²=1²+（

2

-1）²=4-2

2

；
∵S_菱形=BC•AE=

1

2

AC•BD，
∴AC•BD=2

2

，
∴（4-2

2

）•BD²=（2

2

）²，
∴BD²=4+2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，難點(diǎn)在于利用菱形的面積的兩種表示方法求出AC•BD．