Question

【題目】2015朝陽(yáng)）如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，且∠BDE=∠A．

（1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系并說(shuō)明理由；
（2）若AC=16，tanA= ， 求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）

解： DE與⊙O相切．理由如下：

連接DO，BD，如圖，

∵∠BDE=∠A，∠A=∠ADO，

∴∠ADO=∠EDB，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠ADO+∠ODB=90°，

∴∠ODB+∠EDB=90°，即∠ODE=90°，

∴OD⊥DE，

∴DE為⊙O的切線；

（2）

解：∵∠BDE=∠A，

∴∠ABD=∠EBD，

而BD⊥AC，

∴△ABC為等腰三角形，

∴AD=CD=AC=8，

在Rt△ABD中，∵tanA==，

∴BD=×8=6，

∴AB==10，

∴⊙O的半徑為5．

【解析】（1）連接DO，BD，如圖，由于∠BDE=∠A，∠A=∠ADO，則∠ADO=∠EDB，再根據(jù)圓周角定理得∠ADB=90°，所以∠ADO+∠ODB=90°，于是得到∠ODB+∠EDB=90°，然后根據(jù)切線的判定定理可判斷DE為⊙O的切線；
（2）利用等角的余角相等得∠ABD=∠EBD，加上BD⊥AC，根據(jù)等腰三角形的判定方法得△ABC為等腰三角形，所以AD=CD=AC=8，然后在Rt△ABD中利用正切定義可計(jì)算出BD=6，再根據(jù)勾股定理計(jì)算出AB，從而得到⊙O的半徑．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了切線的判定定理的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握切線的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能正確解答此題．