【題目】在△ABC中,∠BAC=90°,點D是BC上一點,將△ABD沿AD翻折后得到△AED,邊AE交射線BC于點F.
(1)如(圖1),當AE⊥BC時,求證:DE∥AC
(2)若∠C=2∠B,∠BAD=x°(0<x<60)
①如(圖2),當DE⊥BC時,求x的值.
②是否存在這樣的x的值,使得△DEF中有兩個角相等.若存在,并求x的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)見解析;(2)①15°,②x=22.5°或45°
【解析】
(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠B=∠E,根據(jù)平行線的判定定理證明;
(2)①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理分別求出∠C=60°,∠B=30°,根據(jù)折疊的性質(zhì)計算即可;
②分∠EDF=∠DFE、∠DFE=∠E、∠EDF=∠E三種情況,列方程解答即可.
(1)證明:∵∠BAC=90°,AE⊥BC,
∴∠CAF+∠BAF=90°,∠B+∠BAF=90°,
∴∠CAF=∠B,
由翻折可知,∠B=∠E,
∴∠CAF=∠E,
∴AC∥DE;
(2)①∵∠C=2∠B,∠C+∠B=90°,
∴∠C=60°,∠B=30°,
∵DE⊥BC,∠E=∠B=30°,
∴∠BFE=60°,
∵∠BFE=∠B+∠BAF,
∴∠BAF=30°,
由翻折可知,x=∠BAD=∠BAF=15°;
②∠BAD=x°,則∠FDE=(120﹣2x)°,∠DFE=(2x+30)°,
當∠EDF=∠DFE時,120﹣2x=2x+30,
解得,x=22.5,
當∠DFE=∠E=30°時,2x+30=30,
解得,x=0,
∵0<x<60,
∴不合題意,故舍去,
當∠EDF=∠E=30°,120﹣2x=30,
解得,x=45,
綜上可知,存在這樣的x的值,使得△DEF中有兩個角相等,且x=22.5或45.
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【題目】如圖,已知拋物線(m>0)與x軸相交于點A,B,與y軸相交于點C,且點A在點B的左側(cè).
(1)若拋物線過點(2,2),求拋物線的解析式;
(2)在(1)的條件下,拋物線的對稱軸上是否存在一點H,使AH+CH的值最小,若存在,求出點H的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)在第四象限內(nèi),拋物線上是否存在點M,使得以點A,B,M為頂點的三角形與△ACB相似?若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】某商店從廠家選購甲、乙兩種商品,乙商品每件進價比甲商品每件進價少20元,若購進甲商品5件和乙商品4件共需要1000元;
(1)求甲、乙兩種商品每件的進價分別是多少元?
(2)若甲種商品的售價為每件145元,乙種商品的售價為每件120元,該商店準備購進甲、乙兩種商品共40件,且這兩種商品全部售出后總利潤不少于870元,則甲種商品至少可購進多少件?
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【題目】如圖,在Rt△PMN中,∠P=90°,PM=PN,MN=6cm,矩形ABCD中AB=2cm,BC=10cm,點C和點M重合,點B、C(M)、N在同一直線上,令Rt△PMN不動,矩形ABCD沿MN所在直線以每秒1cm的速度向右移動,至點C與點N重合為止,設移動x秒后,矩形ABCD與△PMN重疊部分的面積為y,則y與x的大致圖象是( 。
A. B. C. D.
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【題目】如圖,已知A、B、C、D、E是⊙O上五點,⊙O的直徑BE=2,∠BCD=120°,A為的中點,延長BA到點P,使BA=AP,連接PE.
(1)求線段BD的長;
(2)求證:直線PE是⊙O的切線.
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【題目】已知拋物線y=a(x﹣1)2過點(3,1),D為拋物線的頂點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點B、C均在拋物線上,其中點B(0,),且∠BDC=90°,求點C的坐標;
(3)如圖,直線y=kx+4﹣k與拋物線交于P、Q兩點.
①求證:∠PDQ=90°;
②求△PDQ面積的最小值.
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【題目】觀察圖形,回答下列各題:
(1)圖A中,共有____對對頂角;
(2)圖B中,共有____對對頂角;
(3)圖C中,共有____對對頂角;
(4)探究(1)--(3)各題中直線條數(shù)與對頂角對數(shù)之間的關系,若有n條直線相交于一點,則可形成________對對頂角;
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,邊長不等的正方形依次排列,每個正方形都有一個頂點落在函數(shù)的圖象上,從左向右第3個正方形中的一個頂點A的坐標為,陰影三角形部分的面積從左向右依次記為、、、、,則的值為______用含n的代數(shù)式表示,n為正整數(shù)
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