Question

【題目】如圖，已知拋物線(m＞0)與x軸相交于點(diǎn)A，B，與y軸相交于點(diǎn)C，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè).

（1）若拋物線過點(diǎn)（2，2），求拋物線的解析式；

（2）在（1）的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)H，使AH+CH的值最小，若存在，求出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）在第四象限內(nèi)，拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)A，B，M為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)H的坐標(biāo)為（1，）；（3）當(dāng)m=時(shí)，在第四象限內(nèi)拋物線上存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)A，B，M為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似.

【解析】

（1）把點(diǎn)（2，2）代入中，解出m的值即可得到拋物線的解析式；

（2）由（1）中所得解析式求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，由題意可知，點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，這樣連接BC與對稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)H，根據(jù)B、C的坐標(biāo)求出直線BC的解析式即可求得點(diǎn)H的坐標(biāo)；

（3）由解析式可得點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為（-2，0）、（m，0）和（0，2），如下圖，由圖可知∠ACB和∠ABM是鈍角，因此存在兩種可能性：①當(dāng)△ACB∽△ABM，②△ACB∽△MBA，分這兩種情況結(jié)合題中已知條件進(jìn)行分析解答即可.

（1）把點(diǎn)（2，2）代入拋物線，

得2=.

解得m=4.

∴拋物線的解析式為.

（2）令，解得.

則A（-2，0），B（4，0）.

對稱軸x=-.

∵ 中當(dāng)x=0時(shí)，y=2，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2）.

∵點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，

∴連接BC與對稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)H，此時(shí)AH+CH的值最小，

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，

把B（4，0），C（0，2）代入得： ，解得： ，

∴直線BC的解析式為y=.

∵當(dāng)x=1時(shí)，y==.

∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為（1，）.

（3）假設(shè)存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)A，B，M為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似.

如下圖，連接AC，BC，AM，BM，過點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，

由圖易知，∠ACB和∠ABM為鈍角，

①當(dāng)△ACB∽△ABM時(shí)，有=，即.

∵A（-2，0），C（0，2），即OA=OC=2，

∴∠CAB=∠BAM=.

∵MN⊥x軸，∴∠BAM=∠AMN=45°，

∴AN=MN.

∴可設(shè)M的坐標(biāo)為：（x，-x-2）（x＞0），

把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，得：-x-2=.

化簡整理得：x=2m，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（2m，-2m-2）.

∴AM=.

∵，AC=，AB=m+2，

∴.

解得：m=.

∵m＞0，

∴m=.

②當(dāng)△ACB∽△MBA時(shí)，有=，即.

∵∠CBA=∠BAM，∠ANM=∠BOC=，

∴△ANM∽△BOC，∴=.

∵BO=m，設(shè)ON=x，

∴=，即MN=（x+2）.

令M（x，）（x＞0），

把M點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，

得=.

解得x=m+2.即M（m+2，）.

∵，CB=，MN=，

∴.

化簡整理，得16=0，顯然不成立.

綜上所述，當(dāng)m=時(shí)，在第四象限內(nèi)拋物線上存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)A，B，M為頂點(diǎn)的三角形與△ACB相似.