Question

如圖，等邊三角形OBC的邊長為10，點P沿O→B→C→O的方向運動，⊙P的半徑為．⊙P運動一圈與△OBC的邊相切　　次，每次相切時，點P到等邊三角形頂點最近距離是　　．

Answer 1

6    2

考點： 直線與圓的位置關(guān)系；軌跡． 

分析： 當點P在OB上且與邊OC相切時，作PH⊥OC于H，根據(jù)直線與圓相切的判定得到PH=，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠O=60°，在Rt△OPH中，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到OH=PH=1，OP=2OH=2，即點P在OB，OP=2時，⊙P與邊OC相切，然后利用同樣的方法可得BP=2或CP=2時，⊙P與△OBC的邊相切．

解答： 解：當點P在OB上且與邊OC相切時，如圖所示：

作PH⊥OC于H，則PH=，

∵△OBC為等邊三角形，

∴∠O=60°，

在Rt△OPH中，OH=PH=1，

OP=2OH=2，

∴點P在OB，OP=2時，⊙P與邊OC相切，

同理可得點P在OB，BP=2時，⊙P與邊BC相切；

點P在BC，BP=2時，⊙P與邊OB相切，

點P在BC，CP=2時，⊙P與邊OC相切，

點P在OC，CP=2時，⊙P與邊BC相切，

點P在OC，OP=2時，⊙P與邊OB相切，

綜上所述，⊙P運動一圈與△OBC的邊相切6次，每次相切時，點P分別距離△OBC的頂點2個單位；

故答案為：6；2．

點評： 本題考查了直線和圓的位置關(guān)系：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．直線l和⊙O相交⇔d＜r；直線l和⊙O相切⇔d=r；直線l和⊙O相離⇔d＞r．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．