如圖,已知拋物線y=﹣+bx+4與x軸相交于A、B兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C,若已知B點(diǎn)的坐標(biāo)為B(8,0).

(1)求拋物線的解析式及其對(duì)稱軸方程.

(2)連接AC、BC,試判斷△AOC與△COB是否相似?并說明理由.

(3)在拋物線上BC之間是否存在一點(diǎn)D,使得△DBC的面積最大?若存在請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)和△DBC的面積;若不存在,請說明理由.


 

考點(diǎn): 二次函數(shù)綜合題. 

分析: (1)直接把點(diǎn)B(8,0)代入拋物線y=﹣+bx+4,求出b的值即可得出拋物線的解析式,進(jìn)而可得出其對(duì)稱軸方程;

(2)求出A點(diǎn)坐標(biāo),再由銳角三角函數(shù)的定義得出tan∠ACO=tan∠CBO,故∠ACO=∠CBO,由此可得出結(jié)論;

(3)求出BC解析式,將SBCD轉(zhuǎn)化為DH•OB,設(shè)D(t,﹣t2+t+4),H(t,﹣t+4),面積可轉(zhuǎn)化為SBCD=﹣(t﹣4)2+2,△DBC的最大面積為2,此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為(4,6).

解答: 解:(1)∵B點(diǎn)的坐標(biāo)為B(8,0),

∴﹣16+8b+4=0,解得b=,

∴拋物線的解析式為y═﹣+x+4,

對(duì)稱軸方程為x=﹣=3;

 

(2)∵由(1)知,拋物線的對(duì)稱軸方程為x=3,B(8,0)

∴A(﹣2,0),C(0,4),

∴OA=2,OC=4,OB=8,

∴tan∠ACO=tan∠CBO=,

∴∠ACO=∠CBO.

∵∠AOC=∠COB=90°,

∴△AOC∽△COB.

 

(3)設(shè)BC解析式為y=kx+b,

把(8,0),(0,4)分別代入解析式得,

,解得,

解得y=﹣x+4,

作DH⊥x軸,交BC于H.

設(shè)D(t,﹣t2+t+4),H(t,﹣t+4),

SBCD=DH•OB=×(﹣t2+t+4+t﹣4)=﹣t2+t=﹣(t2﹣8t+42﹣16)=﹣(t﹣4)2+2,

當(dāng)t=4時(shí),△DBC的最大面積為2,此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)為(4,6).


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已知:如圖,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足為點(diǎn)D,AN是△ABC外角∠CAM的平分線,CE⊥AN,垂足為點(diǎn)E,連接DE交AC于點(diǎn)F.

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(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí),四邊形ADCE是一個(gè)正方形?并給出證明.

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下列語句正確的是    (    )

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(1)九(1)班班長說:“我們班捐款總數(shù)為1 200元,我們班人數(shù)比你們班多8人.”
(2)九(2)班班長說:“我們班捐款總數(shù)也為1 200元,我們班人均捐款比你們班人均捐款多20%.”請根據(jù)兩個(gè)班長的對(duì)話,求這兩個(gè)班級(jí)每班的人均捐款數(shù).

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