Question

如圖，⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點(diǎn)，若AB=O₁A=4，O₂A=2

2

，求：
（1）∠O₁AO₂的度數(shù)；
（2）O₁之O₂間的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：相交兩圓的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）如圖，作輔助線(xiàn)，由O₁B=AB=O₁A=4得到△ABO₁為等邊三角形，∠O₁AB=α=60°；利用cos∠O₂AB=

2

2 2

=

2

2

，求出∠O₂AB=β=45°，問(wèn)題即可解決．
（2）由sinα=

O1C

O1A

=

3

2

，sinβ=

CO2

AO2

=

2

2

，分別求出CO1=

3

2

×4=2

3

，CO2=

2

2

×2

2

=2，問(wèn)題即可解決．

解答：解：（1）如圖，連接O₁O₂、O₁B、O₂B；
則O₁O₂⊥AB、AC=BC=2；
∵O₁B=AB=O₁A=4，
∴△ABO₁為等邊三角形，∠O₁AB=α=60°；
在直角△ACO₂中，
∵cos∠O₂AB=

2

2 2

=

2

2

，
∴∠O₂AB=β=45°，
∴∠O₁AO₂=60°+45°=105°．
（2）∵sinα=

O1C

O1A

=

3

2

，sinβ=

CO2

AO2

=

2

2

，
∴CO1=

3

2

×4=2

3

，CO2=

2

2

×2

2

=2，
∴O1O2=2

3

+2．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了相交兩圓的性質(zhì)及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是作輔助線(xiàn)，靈活運(yùn)用有關(guān)定理來(lái)分析、判斷、推理或解答；對(duì)綜合運(yùn)用能力提出了較高的要求．