Question

如圖，直線與x軸、y軸相交于點B、C，點A的坐標為（-4，-3）．點P是射線AC上一個動點，點P從A點出發(fā)沿x軸的正方向以每秒1個單位的速度勻速移動，過點P作平行于BC的直線L與x軸、y軸相交于點M、N，設點P運動的時間為t（秒）．
（1）當t為何值時，MN=BC；
（2）設△AMN的面積為S，求S與t的函數(shù)關系式．

Answer 1

解：（1）如圖①，L₁、L₂位置時，MN=BC，此時t=6s或t=10s；

（2）當0＜t＜4時，
如圖②：S_△MAP=•t•3=t；S_△NAP=•t•（4-t）=-t²+t；
∴S=S_△MAP+S_△NAP=；
當4≤t＜8時，
如圖③：S=S_△MAP-S_△NAP=t-•t•（t-4）=-t²+3t；
當t＞8時，
如圖④：S=S_△NAP-S_△MAP=•t•（t-4）=t²-3t．

分析：（1）根據BC所在直線的函數(shù)式我們不難得出，B的坐標應該是（-4，0），C的坐標應該是（0，-3）．要使MN是BC的一半，那么P所在的與BC平行的直線與x軸相交的點就應該是（-2，0）和（2，0），我們不難求出當P在點A時，M點的坐標應該是（-8，0）那么點（-8，0）到點（-2，0）和（2，0）的距離分別是6和10，因此經過6s或10s時，MN是BC的一半．
（2）可分三種情況進行討論：1，當P在第三象限時，也就是M在B點左邊時（圖2），0≤t≤4．
三角形MAP中，底邊AP可以根據路程=速度×時間用t表示出來，AP邊上的高就是OC的長，那么三角形MAP的面積就能求出來了．三角形NAP中關鍵是求AP邊上的高，∠CPN=∠OBC=∠BCA，因此tanCPN=tanOBC=，直角三角形CPN中，有AC=4，AP=t，那么可表示出CP，再根據∠CPN的正切值，那么CN的值就能表示出來了．這樣三角形APN的面積也就能表示出來了．那么他們的面積和即三角形AMN的面積就能求出來了．也就得出了S與t的函數(shù)關系式．
（3）當P在第四象限時，且M位于線段OB上時（圖3），即4≤t≤8時，三角形AMN的面積=三角形AMP的面積-三角形ANP的面積．
三角形AMP中，AP的長可以根據路程=速度×時間求出來，高為OC的長，因此三角形AMP的面積就能求出來了．三角形ANP中，關鍵是求高NC的長，也就是求ON的長，M與P的速度是一樣的，因此OM的長可以用t表示出來（用M點沒運動時OM的長-運動的距離），那么三角形OMN中，就可以用正切函數(shù)求出ON的長，也就求出了CN的長，有了CN，AP的長三角形ANP的面積就可以表示出來了，然后三角形AMP的面積-三角形ANP的面積就是三角形AMN的面積S，也就得出了此時S與t的關系式．
（4）當P在第四象限，且M在x正半軸上時（圖4），t＞8，三角形AMN的面積=三角形APN的面積-APM的面積，三角形APN中，關鍵是求CN的長，方法與第二種情況類似，先表示出OM的長，然后根據正切函數(shù)求出ON的長，進而得出CN的長，其他步驟同第二種情況．
點評：本題考查了一次函數(shù)的性質及三角形面積的計算方法，本題中通過兩條平行的直線函數(shù)來表示出線段的長是解題的關鍵．