【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,為坐標(biāo)原點(diǎn),過二次函數(shù)圖象上的點(diǎn),作軸的垂線交軸于點(diǎn).
(1)如圖1,為線段上方拋物線上的一點(diǎn),在軸上取點(diǎn),點(diǎn)、為軸上的兩個動點(diǎn),點(diǎn)在點(diǎn)的上方且連接,當(dāng)四邊形的面積最大時,求的最小值.
(2)如圖2,點(diǎn)在線段上,連接,將沿直線翻折,點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為,將沿射線平移個單位得,在拋物線上取一點(diǎn),使得以為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,求點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)(2)(7,3),(,),(,),(13,6),(10,).
【解析】
(1)把四邊形PACO沿OA分成△OAP與△OAC,由于△OAC三邊確定,面積為定值,故△OAP面積最大時四邊形面積也最大.過點(diǎn)P作x軸垂線交OA于D,設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為t,則能用t表示PD的長,進(jìn)而得到△OAP關(guān)于t的二次函數(shù)關(guān)系式,用公式法可求得t=時△OAP面積最大,即求得此時點(diǎn)P坐標(biāo).把點(diǎn)P向下平移1個單位得P',易證四邊形MNP'P是平行四邊形,所以PM=P'N.過點(diǎn)O作經(jīng)過第二、四象限的直線l,并使直線l與x軸夾角為60°,過點(diǎn)N作NG⊥直線l于點(diǎn)G,則由30°角所對直角邊等于斜邊一半可知NG=NO.所以PM+MN+NO可轉(zhuǎn)化為P'N+NG+1,易得當(dāng)點(diǎn)P'、N、G在同一直線上最。PD延長交直線l于點(diǎn)F,構(gòu)造特殊Rt△P'FG和Rt△OEF,利用點(diǎn)P坐標(biāo)和30°、60°的三角函數(shù)即可求得P'G的長.
(2)由點(diǎn)B、C、Q的坐標(biāo)求CQ的長和點(diǎn)C'坐標(biāo);過點(diǎn)Q'作x軸的垂線段Q'H,易證△CBQ∽△CHQ',故有,求得CH、HQ'的長即求得點(diǎn)Q'坐標(biāo),進(jìn)而得到向右向上平移的距離,求得點(diǎn)A'、C'的坐標(biāo).求直線CQ解析式,設(shè)CQ上的點(diǎn)M橫坐標(biāo)為m,用兩點(diǎn)間距離公式可得用m表示A'M和C'M的長.因?yàn)椤?/span>A'MC'是等腰三角形,分三種情況討論,得到關(guān)于m的方程,求解即求得相應(yīng)的m的值,進(jìn)而得點(diǎn)M坐標(biāo).
解:(1)如圖1,過點(diǎn)O作直線l,使直線l經(jīng)過第二、四象限且與x軸夾角為60°;
過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)E,交OA于點(diǎn)D,交直線l于點(diǎn)F;在PF上截取PP'=1;過點(diǎn)N作NG⊥直線l于點(diǎn)G
∵A(3,3),AB⊥x軸于點(diǎn)B
∴直線OA解析式為y=x,OB=AB=3
∵C(1,0)
∴S△AOC=OCAB=×1×3=,是定值
設(shè)P(t,t2+4t)(0<t<3)
∴D(t,t)
∴PD=t2+4tt=t2+3t
∴S△OAP=S△OPD+S△APD=PDOE+PDBE=PDOB=(t23t)
∴t==時,S△OAP最大
此時,S四邊形PACO=S△AOC+S△OAP最大
yP=()2+3×=
∴P(,)
∴P'E=PEPP'=1=,即P'(,)
∵點(diǎn)M、N在y軸上且MN=1
∴PP'=MN,PP'∥MN
∴四邊形MNP'P是平行四邊形
∴PM=P'N
∵∠NGO=90°,∠NOG=90°60°=30°
∴Rt△ONG中,NG=NO
∴PM+MN+NO=P'N+NG+1
∴當(dāng)點(diǎn)P'、N、G在同一直線上,即P'G⊥直線l時,PM+MN+NO=P'G+1最小
∵OE=,∠EOF=60°,∠OEF=90°
∴Rt△OEF中,∠OFE=30°,tan∠EOF==
∴EF=OE=
∴P'F=P'E+EF=+
∴Rt△P'GF中,P'G=P'F=
∴P'G+1=+1=
∴PM+MN+NO的最小值為
(2)延長A'Q'交x軸于點(diǎn)H
∵C(1,0),Q(3,1),QB⊥x軸于點(diǎn)B
∴CB=2,BQ=1
∴CQ==
∵△AQC沿直線AB翻折得△AQC'
∴B(3,0)是CC'的中點(diǎn)
∴C'(5,0)
∵平移距離QQ'=3
∴CQ'=CQ+QQ'=4
∵QB∥Q'H
∴△CBQ∽△CHQ'
∴
∴CH=4CB=8,yQ'=HQ'=4BQ=4
∴xQ'=OC+CH=1+8=9
∴Q'(9,4)
∴點(diǎn)Q(3,1)向右平移6個單位,向上平移3個單位得到點(diǎn)Q'(9,4)
∴A'(9,6),C'(11,3)
∴A'C'=
設(shè)直線CQ解析式為y=kx+b
∴
解得:
∴直線CQ:y=x
設(shè)射線CQ上的點(diǎn)M(m,m)(m>1)
∴A'M2=(9m)2+(6m+)2=(9m)2+()2
C'M2=(11m)2+(3m+)2=(11m)2+()2
∵△A'MC'是等腰三角形
故①若A'M=A'C',則(9m)2+()2=13
解得:m1=7,m2=
∴M(7,3)或(,)
②若C'M=A'C',則(11m)2+()2=13
解得:m1=,m2=13
∴M(,)或(13,6)
③若A'M=C'M,則(9m)2+()2=(11m)2+()2
解得:m=10
∴M(10,)
綜上所述,點(diǎn)M坐標(biāo)為(7,3),(,),(,),(13,6),(10,).
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【題目】春節(jié)期間,甲、乙兩家水果店以同樣的價格銷售同一種水果,它們的優(yōu)惠方案分別為:甲水果店,一次性購水果超過元,超過部分打七折;乙水果店,一次性購水果超過元,超過部分打五折,設(shè)水果售價為(單位:元),在甲.乙兩家水果店購水果應(yīng)付金額為(單位:元),(單位:元),與之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.
(1)求甲水果店購水果應(yīng)付金額與水果售價之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求交點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)根據(jù)圖象,請直接寫出春節(jié)期間選擇哪家水果店購水果更優(yōu)惠.
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水銀柱的長度x(cm) | 4.2 | … | 8.2 | 9.8 |
體溫計(jì)的讀數(shù)y(℃) | 35.0 | … | 40.0 | 42.0 |
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(不需要寫出函數(shù)的定義域)
(2)用該體溫計(jì)測體溫時,水銀柱的長度為6.6cm,求此時體溫計(jì)的讀數(shù).
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,連接AC,做△ABC的外接圓⊙O,延長EC交⊙O于點(diǎn)D,連接BD、AD,BC與AD交于點(diǎn)F分,∠ABC=∠ADB。
(1)求證:AE是⊙O的切線;
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(2)在他們?nèi)龔闹羞x擇一位投籃成績優(yōu)秀且較為穩(wěn)定的選手作為中鋒,你認(rèn)為選誰更合適?為什么?
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求二次函數(shù)的解析式.
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是否存在這樣的點(diǎn),使?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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