Question

Rt△ABC中，∠C=90°，AB邊的垂直平分線交直線BC于點D，若∠BAD-∠DAC=21°，則∠B的度數等于

 

．

Answer 1

考點：線段垂直平分線的性質

專題：

分析：分兩種情況，當AB的垂直平分線交BC的延長線于點D時，連接DA，此時∠BAC=∠BAD-∠DAC=21°，且∠B+∠BAC=90°，可求得∠B；當AB的垂直平分線交線段BC于點D時，∠CAD=∠B-21°，且∠B+∠CAD=90°，可求得∠B．

解答：解：
如圖1，當AB的垂直平分線交BC的延長線于點D時，連接DA，

∵D在線段AB的垂直平分線上，
∴DA=DB，
∴∠B=∠DAB，
∵∠BAD-∠DAC=21°，
∴∠BAC=∠BAD-∠DAC=21°，
又∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90°，
即21°+∠B=90°，
解得∠B=69°；
如圖2，當AB的垂直平分線交線段BC于點D時，連接DA，

∵D在線段AB的垂直平分線上，
∴DA=DB，
∴∠B=∠BAD，
∵∠BAD-∠DAC=21°，
∴∠DAC=∠B-21°，
又∠CDA=2∠B，∠DAC+∠CDA=90°，
∴∠B-21°+2∠B=90°，
解得∠B=37°；
綜上可知∠B為37°或69°，
故答案為：37°或69°．

點評：本題主要考查線段垂直平分線的性質及等腰三角形的性質，掌握線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解題的關鍵，注意三角形內角和定理及外角性質的利用．