Question

已知二次函數(shù)y=

1

2

x²+kx+k-

1

2

．
（1）判斷該二次函數(shù)的圖象與x軸的交點情況；
（2）設k＜0，當該二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點A、B間的距離為6時，求k的值；
（3）在（2）的條件下，若拋物線的頂點為C，過y軸上一點M（0，m）作y軸的垂線l，當m為何值時，直線l與△ABC的外接圓有公共點？

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)函數(shù)與方程的關系，求出△的值，若為正數(shù)，則此函數(shù)圖象與x軸總有兩個交點．
（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點的距離公式解答即可．
（3）先求出A，B，C的坐標，作圖確定三角形的圓心，運用三角函數(shù)得出半徑的長，確定點N的坐標，直線l與△ABC的外接圓有公共點的m的取值范圍．

解答：解：（1）令y=0得

1

2

x²+kx+k-

1

2

=0，
△=k²-4×

1

2

（k-

1

2

）=k²-2k+1=（k-1）²≥0，
當k=1時，與x軸有一個交點，
當k≠1時，與x軸有兩個交點，
（2）由

1

2

x²+kx+k-

1

2

=0，
解得x=-k±

(k-1)2

∵k＜0，
∴x=-k±（1-k）
∴x₁=1-2k，x₂=-1，
∵二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點A、B間的距離為6時，
∴1-2k+1=6，
解得k=-2．
（3）由（2）中k=-2，得A（-1，0），B（5，0），拋物線解析式為：y=

1

2

x²-2x-

5

2

，拋物線頂點C的坐標為（2，-

9

2

），
如圖，作AB的中垂線CF交AB于點F，作BC的中垂線交CF于點O′，點O′就是三角形ABC的外接圓的圓心．即可求出

∵A（-1，0），B（5，0），C的坐標為（2，-

9

2

），
∴BF=3，BC=

(- 9 2 )2+32

=

3 13

2

，
∴CD=

3 13

4

，CF=

9

2

，
∵cos∠BCF=

9 2

3 13 2

=

3 13

13

，
∴

CD

CO′

=

3 13

13

，
∴CO′=

13

4

，即外接圓的半徑為

13

4

，
∴N的坐標為（2，2）CN∥y軸，
∴當-

9

2

≤m≤2時，直線l與△ABC的外接圓有公共點．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應用，涉及方程，外接圓及勾股定理三角函數(shù)等知識點，解題的關鍵是確定外接圓的圓心及半徑的長．