Question

【題目】如圖，直線y=x+4交于x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C，過(guò)A、C兩點(diǎn)的拋物線F1交x軸于另一點(diǎn)B（1，0）．

（1）求拋物線F1所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△BPC的內(nèi)心在y軸上，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在寫(xiě)出理由；

（3）直線y=kx-6與y軸交于點(diǎn)N,與直線AC的交點(diǎn)為M,當(dāng)△MNC與△AOC相似時(shí)，求點(diǎn)M坐標(biāo)。

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+4，Q（2）（﹣5，﹣16）（3）①②

【解析】試題分析：（1）利用一次函數(shù)的解析式求出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，然后再利用B點(diǎn)坐標(biāo)即可求出二次函數(shù)的解析式；（2）由于M在拋物線F1上，所以可設(shè)M（a，-），然后分別計(jì)算S四邊形MAOC和S△BOC，過(guò)點(diǎn)M作MP⊥x軸于點(diǎn)P，則S四邊形MAOC的值等于△APM的面積與梯形POCM的面積之和．（3）由于沒(méi)有說(shuō)明點(diǎn)P的具體位置，所以需要將點(diǎn)P的位置進(jìn)行分類(lèi)討論，當(dāng)點(diǎn)P在A′的右邊時(shí)，此情況是不存在；當(dāng)點(diǎn)P在A′的左邊時(shí)，此時(shí)∠DA′P=∠CAB′，若以A′、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△AB′C相似，則分為以下兩種情況進(jìn)行討論：①=；②=.

試題解析：（1）令y=0代入y=x+4，

∴x=﹣3，A（﹣3，0），

令x=0，代入y=x+4，∴y=4，∴C（0，4），

設(shè)拋物線F1的解析式為：y=a（x+3）（x﹣1），

把C（0，4）代入上式得，a=﹣，

∴y=﹣x2﹣x+4，Q

(2)∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），

取點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)B′（﹣1，0），連接CB′，

則∠BCO=∠B′CO，

∴△BPC的內(nèi)心在y軸上，直線B′C的解析式為y=4x+4，

聯(lián)立，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣5，﹣16）；

N(0,-6),直線AC的表達(dá)式為，

當(dāng)△MNC∽△AOC時(shí)，①∠CMN為直角

設(shè) ，根據(jù)勾股定理可得

②當(dāng)∠CNM為直角時(shí)，MN∥x軸，∴