Question

【題目】如圖所示，平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的邊AB在x軸上，∠C=60°，AC交y軸于點(diǎn)E，AC，BC的長(zhǎng)是方程x2﹣16x+64=0的兩個(gè)根且OA：OB=1：3，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求直線EB的解析式；
（3）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△BEP為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：解方程x2﹣16x+64=0得x1=8，x2=8，

∴AC=BC=8，

∵∠A=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴AB=8，

∵OA：OB=1：3，

∴AO=2，OB=6，

過(guò)點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H，則AH= AB=4，CH= AB=4 ，

∴OH=AH﹣AO=4﹣2=2，

∴C（2，4 ）

（2）

解：設(shè)直線AE解析式為y=kx+b（k≠0），把A（﹣2，0）、C（2，4 ）代入可得 ，解得 ，

∴直線AC的解析式為y= x+2 ，

令x=0可得y=2 ，

∴E（0，2 ），

∵B（6，0），

設(shè)直線BE的解析式為y=rx+s，

∴ ，解得 ，

∴直線BE的解析式為y=﹣ x+2

（3）

解：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），

∵B（6，0），E（0，2 ），

∴BE= =4 ，BP=|x﹣6|，PE= = ，

若△BEP為等腰三角形，則有BP=EP、BP=BE和EP=BE三種情況，

② 當(dāng)BP=EP時(shí)，則|x﹣6|= ，解得x=2，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）；

②當(dāng)BP=BE時(shí)，則4 =|x﹣6|，解得x=6+4 或x=6﹣4 ，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（6+4 ，0）或（6﹣4 ，0）；

③當(dāng)EP=BE時(shí)，則 =4 ，解得x=6或x=﹣6，當(dāng)x=6時(shí)，點(diǎn)E和點(diǎn)B重合，不合題意，舍去，

∴x=﹣6，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0）；

綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（2，0）或（6+4 ，0）或（6﹣4 ，0）或（6，0）．

【解析】（1）解方程x2﹣16x+64=0，可得到AC=BC=8，進(jìn)而證得△ABC是等邊三角形，得到AB=8，再由OA：OB=1：3，得到OA、OB的長(zhǎng)，從而求得A、B的坐標(biāo)即可求得C的坐標(biāo)；（2）應(yīng)用待定系數(shù)法即可求得直線AC的解析式，從而求得E的坐標(biāo)，然后再根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線EB的解析式；（3）可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），則可表示出BP、EP，且可求得BE的長(zhǎng)，當(dāng)△BEP為等腰三角形時(shí)，則有BP=EP、BP=BE和EP=BE三種情況，可分別得到關(guān)于x的方程，可求得x的值，則可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解確定一次函數(shù)的表達(dá)式的相關(guān)知識(shí)，掌握確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問(wèn)題的一般方法是待定系數(shù)法，以及對(duì)等腰三角形的性質(zhì)的理解，了解等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）．