【題目】如圖所示,平面直角坐標系中,△ABC的邊AB在x軸上,∠C=60°,AC交y軸于點E,AC,BC的長是方程x2﹣16x+64=0的兩個根且OA:OB=1:3,請解答下列問題:
(1)求點C的坐標;
(2)求直線EB的解析式;
(3)在x軸上是否存在點P,使△BEP為等腰三角形?若存在,請直接寫出點P的坐標,若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:解方程x2﹣16x+64=0得x1=8,x2=8,
∴AC=BC=8,
∵∠A=60°,
∴△ABC是等邊三角形,
∴AB=8,
∵OA:OB=1:3,
∴AO=2,OB=6,
過點C作CH⊥x軸于點H,則AH= AB=4,CH= AB=4 ,
∴OH=AH﹣AO=4﹣2=2,
∴C(2,4 )
(2)
解:設(shè)直線AE解析式為y=kx+b(k≠0),把A(﹣2,0)、C(2,4 )代入可得 ,解得 ,
∴直線AC的解析式為y= x+2 ,
令x=0可得y=2 ,
∴E(0,2 ),
∵B(6,0),
設(shè)直線BE的解析式為y=rx+s,
∴ ,解得 ,
∴直線BE的解析式為y=﹣ x+2
(3)
解:設(shè)P點坐標為(x,0),
∵B(6,0),E(0,2 ),
∴BE= =4 ,BP=|x﹣6|,PE= = ,
若△BEP為等腰三角形,則有BP=EP、BP=BE和EP=BE三種情況,
② 當BP=EP時,則|x﹣6|= ,解得x=2,此時P點坐標為(2,0);
②當BP=BE時,則4 =|x﹣6|,解得x=6+4 或x=6﹣4 ,此時P點坐標為(6+4 ,0)或(6﹣4 ,0);
③當EP=BE時,則 =4 ,解得x=6或x=﹣6,當x=6時,點E和點B重合,不合題意,舍去,
∴x=﹣6,此時P點坐標為(6,0);
綜上可知存在滿足條件的點P,其坐標為(2,0)或(6+4 ,0)或(6﹣4 ,0)或(6,0).
【解析】(1)解方程x2﹣16x+64=0,可得到AC=BC=8,進而證得△ABC是等邊三角形,得到AB=8,再由OA:OB=1:3,得到OA、OB的長,從而求得A、B的坐標即可求得C的坐標;(2)應(yīng)用待定系數(shù)法即可求得直線AC的解析式,從而求得E的坐標,然后再根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線EB的解析式;(3)可設(shè)P點坐標為(x,0),則可表示出BP、EP,且可求得BE的長,當△BEP為等腰三角形時,則有BP=EP、BP=BE和EP=BE三種情況,可分別得到關(guān)于x的方程,可求得x的值,則可求得P點坐標.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解確定一次函數(shù)的表達式的相關(guān)知識,掌握確定一個一次函數(shù),需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b(k不等于0)中的常數(shù)k和b.解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法,以及對等腰三角形的性質(zhì)的理解,了解等腰三角形的兩個底角相等(簡稱:等邊對等角).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線y=﹣x2+bx+c的部分圖象如圖所示,A(1,0),B(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)結(jié)合函數(shù)圖象,寫出當y<3時x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,C是 的中點,CE⊥AB于E,BD交CE于點F.
(1)求證:CF=BF;
(2)若CD=6,AC=8,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校計劃購買籃球、排球共20個,購買2個籃球,3個排球,共需花費190元;購買3個籃球的費用與購買5個排球的費用相同。
(1)籃球和排球的單價各是多少元?
(2)若購買籃球不少于8個,所需費用總額不超過800元.請你求出滿足要求的所有購買方案,并直接寫出其中最省錢的購買方案
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線y=3x﹣3分別交x軸,y軸于A,B兩點,拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A,B兩點,點C是拋物線與x軸的另一個交點(與點A不重合),點D是拋物線的頂點,請解答下列問題.
(1)求拋物線的解析式;
(2)判斷△BCD的形狀,并說明理由;
(3)求△BCD的面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,將邊長為6的正三角形紙片按如下順序進行兩次折疊,展開后,得折痕(如圖①),為其交點.
(1)探求與的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(2)如圖②,若分別為上的動點.
①當的長度取得最小值時,求的長度;
②如圖③,若點在線段上,,則的最小值為 .
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象如圖所示,它與x軸的一個交點坐標為(﹣1,0),與y軸的交點坐標為(0,3).
(1)求出b、c的值,并寫出此二次函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)圖象,直接寫出函數(shù)值y為正數(shù)時,自變量x的取值范圍;
(3)當2≤x≤4時,求y的最大值.
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