Question

【題目】已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象如圖所示，它與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）．
（1）求出b、c的值，并寫出此二次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象，直接寫出函數(shù)值y為正數(shù)時(shí)，自變量x的取值范圍；
（3）當(dāng)2≤x≤4時(shí)，求y的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：把（﹣1，0），（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，

得

解得 ，

所以二次函數(shù)的解析式為：y=﹣x2+2x+3

（2）解：把x=0代入y=﹣x2+bx+c中，

得﹣x2+bx+c=0，

解得x1=﹣1，x2=3，

所以當(dāng)﹣1＜x＜3，y＞0

（3）解：由y=﹣x2+2x+3

=﹣（x﹣1）2+4，

拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，

則當(dāng)2≤x≤4時(shí)，y隨著x的增大而減小，

∴當(dāng)x=2時(shí)，y的最大值是3

【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)（﹣1，0），（0，3）在拋物線y=﹣x2+bx+c上，可代入確定b、c的值；（2）求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圖象確定y＞0時(shí)，x的取值范圍；（3）根據(jù)二次函數(shù)的增減性，確定2≤x≤4時(shí)，y的最大值．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的最值是解答本題的根本，需要知道二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a．