【題目】如圖1,拋物線yxm2的頂點(diǎn)Ax軸正半軸上,交y軸于B點(diǎn),SOAB1

1)求拋物線的解析式;

2)如圖2P是第一象限內(nèi)拋物線上對(duì)稱軸右側(cè)一點(diǎn),過P的直線l與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),l交拋物線對(duì)稱軸于C點(diǎn),連PB交對(duì)稱軸于D點(diǎn),若∠BAO=∠PCD,求證:AC2AD;

3)如圖3,以A為頂點(diǎn)作直角,直角邊分別與拋物線交于M、N兩點(diǎn),當(dāng)直角∠MANA點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí),求證:MN始終經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】1yx2x+1;(2)見解析;(3)定點(diǎn)K的坐標(biāo)為(2,4

【解析】

1)先確定A、B的坐標(biāo),然后運(yùn)用頂點(diǎn)式的待定系數(shù)法即可解答;

2)由(1)得拋物線對(duì)稱軸為直線x2D、C兩點(diǎn)在直線x2上,則設(shè)C2,n),D2n');延長BA交直線PC于點(diǎn)Q并設(shè)直線PCx軸于點(diǎn)E.再說明Rt△BOA∽R(shí)t△EAC,進(jìn)一步可得AC=2AE;然后再說明BQPC,再求出AB、PC、PB的解析式,最后結(jié)合圖形即可解答;

3)過A作垂直于x軸的直線并交MN于點(diǎn)K2,k),然后再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)設(shè)出M2k,k),最后代入yx22即可求得k的值,進(jìn)而確定該點(diǎn)的坐標(biāo).

解:(1)由題意和yxm2設(shè)Am,0

當(dāng)x0時(shí),y0m2,即設(shè)B0,

OAm,OB

SOAB1

OAOB1,即m2

解得,m2

A2,0),B0,1

yx22化為一般式為,yx2x+1

2)由(1)得拋物線對(duì)稱軸為直線x2

DC兩點(diǎn)在直線x2上,則設(shè)C2n),D2,n'

如圖2延長BA交直線PC于點(diǎn)Q并設(shè)直線PCx軸于點(diǎn)E

∵∠BAOPCD,BOAEAC90°

∴Rt△BOA∽R(shí)t△EAC

∴∠BAOECA

∴tan∠BAOtan∠ECA

AC2AE

∵∠BAOEAQ,BAOECA

∴∠ECAEAQ

∵∠ECA+∠CEA90°

∴∠EAQ+∠QEA90°

BQPC

設(shè)直線AB的解析式為ykx+b,把A20),B0,1)代入得,

解得

直線AB的解析式為,y=﹣x+1

BQPC設(shè)直線PC的解析式為y2x+b'

P的直線l與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

2x+b'═x22

整理得,x212x+44b'0,且0

144444b')=0

解得,b'=﹣8

直線PC的解析式為,y2x8

把點(diǎn)C2n)代入y2x8中得,n2×28

解得,n=﹣4

C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,﹣4),即AC4

AC2AE得,AE2

b=﹣8代入方程x212x+44b'0中得,

x212x+360

解得,x1x26

再把x6代入y2x8中得,y2×68

解得,y4

P6,4

設(shè)直線PB解析式為yk'x+1

P64)代入上式得,46k'+1

解得,k'

直線PB的解析式為,yx+1

D2,n')在直線PB上,將其代入yx+1中得,

n'×2+12

D點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2),即AD2

ADAE

AC2AD

3)如圖31A作垂直于x軸的直線并交MN于點(diǎn)K2,k).

∵∠MAN為直角

∴∠M+∠N90°,MAK+NAK90°

∵∠MKA∠N+∠NAK,NKAM+MAK

∴∠MKA+∠NKA180°

直角MANA點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí),M、K、N三點(diǎn)始終在一條直線上,即MN始終經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)K

如圖32當(dāng)MNy軸時(shí),此時(shí)Rt△MAN為等腰直角三角形,應(yīng)有AKMK,則設(shè)M2k,k).

M2k,k)代入yx22中得,k2k22

解得,k10(舍去),k24

定點(diǎn)K的坐標(biāo)為(2,4).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】上圖為2009年到2015年中關(guān)村國家自主創(chuàng)新示范區(qū)企業(yè)經(jīng)營技術(shù)收入的統(tǒng)計(jì)圖.

下面四個(gè)推斷:

2009 年到2015年技術(shù)收入持續(xù)增長;

2009年到2015年技術(shù)收入的中位數(shù)是3403億;

2009年到2015年技術(shù)收入增幅最大的是2015年;

2009年到2011年的技術(shù)收入平均增長率比2013年到2015年技術(shù)收入平均增長率大.

其中,正確的是__________

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】將一個(gè)直角三角形紙片,放置在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),點(diǎn),點(diǎn)

(I)過邊上的動(dòng)點(diǎn) (點(diǎn)不與點(diǎn),重合)于點(diǎn),沿著折疊該紙片,點(diǎn)落在射線上的點(diǎn)處.

①如圖,當(dāng)中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo);

②連接,當(dāng)為直角三角形時(shí),求點(diǎn)坐標(biāo):

(Ⅱ)邊上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn)重合),將沿所在的直線折疊,得到,連接,當(dāng)取得最小值時(shí),求點(diǎn)坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果即可)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】對(duì)于下列結(jié)論:

①二次函數(shù),當(dāng)時(shí),的增大而增大.

②關(guān)于的方程的解是,、、均為常數(shù),),則方程的解是,

③設(shè)二次函數(shù),當(dāng)時(shí),總有,當(dāng)時(shí),總有,那么的取值范圍是

其中,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( 。

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】學(xué)校開展“書香校園”活動(dòng)以來,受到同學(xué)們的廣泛關(guān)注,學(xué)位為了解全校學(xué)生課外閱讀的情況,隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生在一周內(nèi)借閱圖書的次數(shù),并制成如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表.

請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表中的信息,解答下列問題:

1=___________,=_____________;

2)該調(diào)查統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是_________,眾數(shù)是__________;

3)請(qǐng)計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中“3次”所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù);

4)若該校共有2000名學(xué)生,根據(jù)調(diào)查結(jié)果,估計(jì)該校學(xué)生在一周內(nèi)借閱圖書“4次及以上”的人數(shù).

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中,點(diǎn)A (-4,-2),將點(diǎn)A向右平移6個(gè)單位長度,得到點(diǎn)B.

1)若拋物線y-x2bxc經(jīng)過點(diǎn)A,B,求此時(shí)拋物線的表達(dá)式;

2)在(1)的條件下的拋物線頂點(diǎn)為C,點(diǎn)D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(不與B,C重合),是否存在點(diǎn)D,使△ABC和以點(diǎn)A,B,D構(gòu)成的三角形相似?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)D的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;

3)若拋物線y-x2bxc的頂點(diǎn)在直線yx2上移動(dòng),當(dāng)拋物線與線段有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),求拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)t的取值范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=(x>0)的圖像上,點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=(x>0)的圖像上,AB∥x軸,BC⊥x軸,垂足為C,連接AC,若△ABC的面積是6,則k的值為(

A. 10 B. 12 C. 14 D. 16

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為了解學(xué)生參加戶外活動(dòng)的情況,和諧中學(xué)對(duì)學(xué)生每天參加戶外活動(dòng)的時(shí)間進(jìn)行抽樣調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,根據(jù)圖示,請(qǐng)回答下列問題:

(1)被抽樣調(diào)查的學(xué)生有______,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

(2)每天戶外活動(dòng)時(shí)間的中位數(shù)是______(小時(shí));

(3)該校共有2000名學(xué)生,請(qǐng)估計(jì)該校每天戶外活動(dòng)時(shí)間超過1小時(shí)的學(xué)生有多少人?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,矩形在平面直角坐標(biāo)系中, 軸于點(diǎn),動(dòng)點(diǎn) 從原點(diǎn)出發(fā),以每秒 1 個(gè)單位長度的速度沿 軸正方向移動(dòng),移動(dòng)時(shí)間為秒,過點(diǎn) P 作垂直于 軸的直線,交 于點(diǎn) M ,交 于點(diǎn) N ,直線掃過矩形 的面積為

1)求點(diǎn) 的坐標(biāo);

2)求直線 移動(dòng)過程中到點(diǎn)之前的 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式;

3)在直線 移動(dòng)過程中,第一象限的直線上是否存在一點(diǎn) ,使 是等腰直角三角形? 若存在,直接寫出點(diǎn) 的坐標(biāo);若不存在,說明理由

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