Question

【題目】如圖1，拋物線y＝（x﹣m）2的頂點(diǎn)A在x軸正半軸上，交y軸于B點(diǎn)，S△OAB＝1．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2，P是第一象限內(nèi)拋物線上對(duì)稱軸右側(cè)一點(diǎn)，過P的直線l與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，l交拋物線對(duì)稱軸于C點(diǎn)，連PB交對(duì)稱軸于D點(diǎn)，若∠BAO＝∠PCD，求證：AC＝2AD；

（3）如圖3，以A為頂點(diǎn)作直角，直角邊分別與拋物線交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)直角∠MAN繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，求證：MN始終經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x+1；（2）見解析；（3）定點(diǎn)K的坐標(biāo)為（2，4）

【解析】

（1）先確定A、B的坐標(biāo)，然后運(yùn)用頂點(diǎn)式的待定系數(shù)法即可解答；

（2）由（1）得拋物線對(duì)稱軸為直線x＝2．D、C兩點(diǎn)在直線x＝2上，則設(shè)C（2，n），D（2，n'）；延長(zhǎng)BA交直線PC于點(diǎn)Q并設(shè)直線PC交x軸于點(diǎn)E．再說明Rt△BOA∽R(shí)t△EAC，進(jìn)一步可得AC=2AE；然后再說明BQ⊥PC，再求出AB、PC、PB的解析式，最后結(jié)合圖形即可解答；

（3）過A作垂直于x軸的直線并交MN于點(diǎn)K（2，k），然后再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)設(shè)出M（2﹣k，k），最后代入y＝（x﹣2）2即可求得k的值，進(jìn)而確定該點(diǎn)的坐標(biāo)．

解：（1）由題意和y＝（x﹣m）2設(shè)A（m，0）

當(dāng)x＝0時(shí)，y═（0﹣m）2＝，即設(shè)B（0，）

∴OA＝m，OB＝

由S△OAB＝1

∴OAOB＝1，即m＝2

解得，m＝2

∴A（2，0），B（0，1）

把y＝（x﹣2）2化為一般式為，y＝x2﹣x+1．

（2）由（1）得拋物線對(duì)稱軸為直線x＝2．

D、C兩點(diǎn)在直線x＝2上，則設(shè)C（2，n），D（2，n'）

如圖2延長(zhǎng)BA交直線PC于點(diǎn)Q并設(shè)直線PC交x軸于點(diǎn)E．

∵∠BAO＝∠PCD，∠BOA＝∠EAC＝90°

∴Rt△BOA∽R(shí)t△EAC

∴∠BAO＝∠ECA

∴tan∠BAO＝tan∠ECA＝

∴＝

∴AC＝2AE

又∵∠BAO＝∠EAQ，∠BAO＝∠ECA

∴∠ECA＝∠EAQ

又∵∠ECA+∠CEA＝90°

∴∠EAQ+∠QEA＝90°

∴BQ⊥PC

設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，把A（2，0），B（0，1）代入得，

解得

∴直線AB的解析式為，y＝﹣x+1

由BQ⊥PC設(shè)直線PC的解析式為y＝2x+b'．

又∵過P的直線l與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

∴令2x+b'═（x﹣2）2

整理得，x2﹣12x+4﹣4b'＝0，且△＝0

即144﹣4（4﹣4b'）＝0

解得，b'＝﹣8

∴直線PC的解析式為，y＝2x﹣8．

∴把點(diǎn)C（2，n）代入y＝2x﹣8中得，n＝2×2﹣8

解得，n＝﹣4．

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣4），即AC＝4

由AC＝2AE得，AE＝2．

把b’＝﹣8代入方程x2﹣12x+4﹣4b'＝0中得，

x2﹣12x+36＝0

解得，x1＝x2＝6

再把x＝6代入y＝2x﹣8中得，y＝2×6﹣8

解得，y＝4

∴P（6，4）

設(shè)直線PB解析式為y＝k'x+1

把P（6，4）代入上式得，4＝6k'+1

解得，k'＝

∴直線PB的解析式為，y＝x+1

又∵D（2，n'）在直線PB上，將其代入y＝x+1中得，

n'＝×2+1＝2

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），即AD＝2

∴AD＝AE

∴AC＝2AD

（3）如圖3﹣1過A作垂直于x軸的直線并交MN于點(diǎn)K（2，k）．

∵∠MAN為直角

∴∠M+∠N＝90°，∠MAK+NAK＝90°

又∵∠MKA＝∠N+∠NAK，∠NKA＝∠M+MAK

∴∠MKA+∠NKA＝180°

∴直角∠MAN繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，M、K、N三點(diǎn)始終在一條直線上，即MN始終經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)K．

如圖3﹣2當(dāng)MN∥y軸時(shí)，此時(shí)Rt△MAN為等腰直角三角形，應(yīng)有AK＝MK，則設(shè)M（2﹣k，k）．

把M（2﹣k，k）代入y＝（x﹣2）2中得，k＝（2﹣k﹣2）2

解得，k1＝0（舍去），k2＝4

∴定點(diǎn)K的坐標(biāo)為（2，4）．