【題目】在平面直角坐標系xoy中,點A (-4,-2),將點A向右平移6個單位長度,得到點B.
(1)若拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點A,B,求此時拋物線的表達式;
(2)在(1)的條件下的拋物線頂點為C,點D是直線BC上一動點(不與B,C重合),是否存在點D,使△ABC和以點A,B,D構(gòu)成的三角形相似?若存在,請求出此時D的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)若拋物線y=-x2+bx+c的頂點在直線y=x+2上移動,當拋物線與線段有且只有一個公共點時,求拋物線頂點橫坐標t的取值范圍.
【答案】(1)y=-x2-2x+6;(2)存在,D (,);(3)-4≤t<-3或0<t≤5.
【解析】
(1)根據(jù)點A的坐標結(jié)合線段AB的長度,可得出點B的坐標,根據(jù)點A,B的坐標,利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達式;
(2)由拋物線解析式,求出頂點C的坐標,從而求出直線BC解析式,設(shè)D (d,-3d+4),
根據(jù)已知可知AD=AB=6時,△ABC∽△BAD,從而列出關(guān)于d的方程,解方程即可求解;
(3)將拋物線的表達式變形為頂點時,依此代入點A,B的坐標求出t的值,再結(jié)合圖形即可得出:當拋物線與線段AB有且只有一個公共點時t的取值范圍.
(1)∵點A的坐標為(-4,-2),將點A向右平移6個單位長度得到點B,
∴點B的坐標為(2,-2).
∵拋物線y=-x2+bx+c過點,
∴, 解得
∴拋物線表達式為y=-x2-2x+6
(2)存在.
如圖
由(1)得,y=-x2-2x+6=-(x+1)2+7,
∴C (-1,7)
設(shè)直線BC解析式為y=kx+b
∴解之得,
∴lBC:y=-3x+4
設(shè)D (d,-3d+4),
∵在△ABC中AC=BC
∴當且僅當AD=AB=6時,兩三角形相似
即(-4-d)2+(-2+3d-4)2=36時,△ABC∽△BAD,
解之得,d1=、d2=2(舍去)
∴存在點D,使△ABC和以點A,B,D構(gòu)成的三角形相似,此時點D (,);
(3)如圖:
拋物線y=-x2+bx+c頂點在直線上
∴拋物線頂點坐標為
∴拋物線表達式可化為.
把代入表達式可得
解得.
又∵拋物線與線段AB有且只有一個公共點,
∴-4≤t<-3.
把代入表達式可得.
解得,
又∵拋物線與線段AB有且只有一個公共點,
∴0<t≤5.
綜上可知的取值范圍時-4≤t<-3或0<t≤5.
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【題目】如圖所示,在平面直角坐標系中,直線與軸交于點,與軸交于點,拋物線經(jīng)過,兩點,與軸的另一交點為點.
(1)求拋物線的函數(shù)表達式;
(2)點為直線下方拋物線上一動點.
①如圖2所示,直線交線段于點,求的最小值;
② 如圖3所示,連接過點作于,是否存在點,使得中的某個角恰好等于的2倍?若存在,求點的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】將一個直角三角形紙片,放置在平面直角坐標系中,點,點,點
(I)過邊上的動點 (點不與點,重合)作交于點,沿著折疊該紙片,點落在射線上的點處.
①如圖,當為中點時,求點的坐標;
②連接,當為直角三角形時,求點坐標:
(Ⅱ)是邊上的動點(點不與點重合),將沿所在的直線折疊,得到,連接,當取得最小值時,求點坐標(直接寫出結(jié)果即可).
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【題目】已知點A(﹣3,y1),B(2,y2)均在拋物線y=ax2+bx+c上,點P(m,n)是該拋物線的頂點,若y1>y2≥n,則m的取值范圍是( )
A.﹣3<m<2B.﹣<m<-C.m>﹣D.m>2
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【題目】如圖1,拋物線y=(x﹣m)2的頂點A在x軸正半軸上,交y軸于B點,S△OAB=1.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖2,P是第一象限內(nèi)拋物線上對稱軸右側(cè)一點,過P的直線l與拋物線有且只有一個公共點,l交拋物線對稱軸于C點,連PB交對稱軸于D點,若∠BAO=∠PCD,求證:AC=2AD;
(3)如圖3,以A為頂點作直角,直角邊分別與拋物線交于M、N兩點,當直角∠MAN繞A點旋轉(zhuǎn)時,求證:MN始終經(jīng)過一個定點,并求出該定點的坐標.
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【題目】將一矩形紙片放在直角坐標系中,為原點,在軸上,,.
(1)如圖①,在上取一點,將沿折疊,使點落在邊上的點,求點的坐標;
(2)如圖②,在、邊上選取適當?shù)狞c、,將沿折疊,使點落在邊上點,過作交于點,交于點,設(shè)的坐標為,求與之間的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出自變量的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,若,求的面積.(直接寫出結(jié)果即可)
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【題目】在中, 是直線上的一點,連接過點作交直線于點.
當點在線段上時,如圖①,求證:;
當點在直線上移動時,位置如圖②、圖③所示,線段與之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請直接寫出你的猜想,不需證明.
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【題目】如圖,平面直角坐標系中,拋物線y=x2﹣2x與x軸交于O、B兩點,頂點為P,連接OP、BP,直線y=x﹣4與y軸交于點C,與x軸交于點D.
(1)寫出點B坐標;判斷△OBP的形狀;
(2)將拋物線沿對稱軸平移m個單位長度,平移的過程中交y軸于點A,分別連接CP、DP;
(i)若拋物線向下平移m個單位長度,當S△PCD= S△POC時,求平移后的拋物線的頂點坐標;
(ii)在平移過程中,試探究S△PCD和S△POD之間的數(shù)量關(guān)系,直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系及對應(yīng)的m的取值范圍.
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【題目】如圖,在△BCE中,點A是邊BE上一點,以AB為直徑的⊙O與CE相切于點D,AD∥OC,點F為OC與⊙O的交點,連接AF.
(1)求證:CB是⊙O的切線;
(2)若∠ECB=60°,AB=6,求圖中陰影部分的面積.
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