Question

【題目】將一個(gè)直角三角形紙片，放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)

(I)過(guò)邊上的動(dòng)點(diǎn) (點(diǎn)不與點(diǎn)，重合)作交于點(diǎn)，沿著折疊該紙片，點(diǎn)落在射線上的點(diǎn)處．

①如圖，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

②連接，當(dāng)為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)：

(Ⅱ)是邊上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)不與點(diǎn)重合)，將沿所在的直線折疊，得到，連接，當(dāng)取得最小值時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)(直接寫(xiě)出結(jié)果即可)．

Answer 1

【答案】（I）①；②點(diǎn)坐標(biāo)為或；（II）

【解析】

（I）①過(guò)點(diǎn)E做EH⊥OA ，交OA于點(diǎn)H，由D為OB中點(diǎn)結(jié)合DE∥OA，可得出DE為△BOA的中位線，再根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

②根據(jù)折疊的性質(zhì)結(jié)合角的計(jì)算可得出∠AEF=60°≠90°，分∠AFE=90°和∠EAF=90°兩種情況考慮，利用含30度角的直角三角形以及勾股定理即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（II）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，找出當(dāng)點(diǎn)A′在y軸上時(shí)，BA′取最小值，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出直線OP的解析式，再根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，聯(lián)立兩直線解析式成方程組，解之即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（I）過(guò)點(diǎn)E做EH⊥OA ，交OA于點(diǎn)H，

①∵， ，

∴．

∵為中點(diǎn)，

∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為，

∴為的中位線，

∴點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，

又∵，

∴EH為的中位線，

∴點(diǎn)H為線段OA的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

②∵點(diǎn)，點(diǎn)，

∴，OB=3

∴，

∴∠B=30°，

由折疊可知:．

∴，

∴．

∵是直角三角形，

∴或

（i）當(dāng)時(shí)，如圖1所示

．

在中，，

∴，，

∵，

∴，．

在中， ，．

∴，

∵，

∴，．

∵．

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；

(ii)當(dāng)時(shí)，如圖2所示．

∵，

∴，

∴．

在中， ，，

∴，

∵，

∴，．

在中， ， ，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

綜上所述:當(dāng)為直角三角形時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為或．

（II）由折疊可知:，

∴，，

又∵，

∴當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，取最小值，如圖3所示．

∵

∴

∴直線的解析式為

設(shè)直線的解析式為，

將、代入中，

，解得：，

∴直線的解忻式為．

聯(lián)立直線、的解析式成方程組，

，解得：，

∴．當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為．