Question

【題目】對于平面上A、B兩點，給出如下定義：以點A為中心，B為其中一個頂點的正方形稱為點A、B的“領域”．

（1）已知點A的坐標為（﹣1，1），點B的坐標為（3，3），頂點A、B的“領域”的面積為　 　．

（2）若點A、B的“領域”的正方形的邊與坐標軸平行或垂直，回答下列問題：

①已知點A的坐標為（2，0），若點A、B的“領域”的面積為16，點B在x軸上方，求B點坐標；

②已知點A的坐標為（2，m），若在直線l：y＝﹣3x+2上存在點B，點A、B的“領域”的面積不超過16，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）40；（2）①B（4，2）或B（0，2）；②﹣12≤m≤4．

【解析】

（1）由兩點距離公式可求AB長，由正方形的性質可求解；

（2）①分兩種情況，由兩點距離公式和正方形性質可求解；

②由題意可得BM＝AM，可得m＝4﹣4a，或m＝﹣2a，由正方形的性質可求a的取值范圍，即可求解．

（1）∵點A的坐標為（﹣1，1），點B的坐標為（3，3），

∴AB＝，

由題意可知，AB是正方形對角線的一半，

∴正方形的邊長為2，

∴正方形的面積為40，

∴頂點A、B的“領域”的面積為40；

故答案為40；

（2）①如圖，

∵點A、B的“領域”的正方形的邊與坐標軸平行或垂直，

∴AB與x軸的所成銳角為45°，

當點B在A左側，設B（2﹣a，a），

∴AB＝，

∵點A、B的“領域”的面積為16，

∴16＝，

∴a＝2，

∴點B（0，2），

當點B在點A右側，設B'（2+a，a）

∴AB'＝a，

∵點A、B的“領域”的面積為16，

∴16＝，

∴a＝2，

∴點B（4，2），

綜上所述：B（4，2）或B（0，2）；

②如圖2，過點B作BM⊥AM，

∵∵點A、B的“領域”的正方形的邊與坐標軸平行或垂直，

∴AB與直線x＝2的所成銳角為45°，

∴BM＝AM，

設點B（a，﹣3a+2），

∴AM＝|m+3a﹣2|，BM＝|2﹣a|

∴AB＝|2﹣a|，

∵點A、B的“領域”的面積不超過16，

∴≤16

∴0≤a≤4，

∵BM＝AM，

∴|m+3a﹣2|＝|2﹣a|

∴m＝4﹣4a，或m＝﹣2a，

∴﹣12≤m≤4，或﹣8≤m≤0，

綜上所述：﹣12≤m≤4．