Question

如圖所示，AB是⊙O的直徑，AD與⊙O相切于點(diǎn)A，DE與⊙O相切于點(diǎn)E，點(diǎn)C為DE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=CB．
（1）求證：BC為⊙O的切線；
（2）若AB=4，AD=1，求線段CE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）由切線得出∠OEC=90°，證明△OBC≌△OEC，得出∠OBC=∠OEC=90°，證出BC為⊙O的切線；
（2）作輔助線求出DF=AB=4，BF=AD=1，設(shè)CE=x，Rt△CDF中，根據(jù)勾股定理得：（x+1）²-（x-1）²=16，得出x=4即可．

解答：（1）證明：連接OE，OC；如圖所示：
∵DE與⊙O相切于點(diǎn)E
∴∠OEC=90°，
在△OBC和△OEC中，

OB=OE   CB=CE   OC=OC

，
∴△OBC≌△OEC（SSS），
∴∠OBC=∠OEC=90°，
∴BC為⊙O的切線；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于F；如圖所示：設(shè)CE=x
∵CE，CB為⊙O切線，
∴CB=CE=x，
∵DE，DA為⊙O切線，
∴DE=DA=1，
∴DC=x+1，
∵∠DAB=∠ABC=∠DFB=90°
∴四邊形ADFB為矩形，
∴DF=AB=4 BF=AD=1，
∴FC=x-1，
Rt△CDF中，根據(jù)勾股定理得：
（x+1）²-（x-1）²=16，
解得：x=4，
∴CE=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及切線的判定與性質(zhì)；根據(jù)切線的性質(zhì)利用勾股定理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．