Question

已知反比例函數(shù)y=

k

2x

和一次函數(shù)y=2x-1，且一次函數(shù)的圖象經(jīng)過（a，b）和（a+1，b+k）兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）若直線y=2x-1上有一點(diǎn)A（1，c），則點(diǎn)A在y=

k

2x

上嗎？說明理由．
（3）利用（2）的結(jié)果，說明在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形？若存在，直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先把（a，b）和（a+1，b+k）代入一次函數(shù)y=2x-1求出k的值，進(jìn)而可得出反比例函數(shù)的解析式；
（2）把點(diǎn)A（1，c）代入直線y=2x-1即可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)y=

k

2x

進(jìn)行檢驗(yàn)即可；
（3）先根據(jù)勾股定理計(jì)算出OA的長(zhǎng)，再過A點(diǎn)作AP₁⊥x軸，則△OAP₁為等腰三角形；作點(diǎn)O關(guān)于AP₁的對(duì)稱點(diǎn)P₂，則△OAP₂為等腰三角形；以O(shè)點(diǎn)為圓心，OA為半徑畫弧交x軸與P₃，P₄，則△OAP₃、△OAP₄為等腰三角形；然后利用線段長(zhǎng)分別確定各點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵一次函數(shù)y=2x-1的圖象經(jīng)過（a，b）和（a+1，b+k）兩點(diǎn)，
∴

2a-1=b 2(a+1)-1=b+k

，解得k=2，
∴反比例函數(shù)y=

k

2x

的解析式為y=

1

x

；

（2）在．
∵點(diǎn)A（1，c）在直線y=2x-1上，
∴c=2-1=1，
∴A（1，1），
∵當(dāng)x=1時(shí)，y=

1

1

=1，
∴點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=

1

x

的圖象上；

（3）A點(diǎn)作AP₁⊥x軸，則△OAP₁為等腰三角形；作點(diǎn)O關(guān)于AP₁的對(duì)稱點(diǎn)P₂，則△OAP₂為等腰三角形；以O(shè)點(diǎn)為圓心，OA為半徑畫弧交x軸與P₃，P₄，則△OAP₃、△OAP₄為等腰三角形；
∵A（1，1），
∴OA=

12+12

=

2

，OP₁=1，
∴P₁（1，0），P₂（2，0）；P₃（

2

，0）、P₄（-

2

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰三角形的判定與性質(zhì)；運(yùn)用分類討論的思想解決問題．