Question

設(shè)m、n是一元二次方程x²+（p-2）x+1=0的兩個(gè)根，且滿足關(guān)系式[1+m（p+m）-n][1+n（p+n）-m]=-

7

2

，則p的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系

專題：

分析：根據(jù)方程的解滿足方程，把解代入方程，可得關(guān)于m、n的一元二次方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，可得m+n=2-p，mn=1，根據(jù)整式乘法，可得關(guān)于p的一元二次方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答：解：∵m、n 是一元二次方程 x²+（p-2）x+1=0 的兩個(gè)根，
∴m²+（p-2）m+1=0，
∴m²+pm+1=2m，
同理n²+pn+1=2n．
由二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得
m+n=2-p，mn=1，
∴1+m（p+m）-n=1+mp+m²-n=2m-n，
同理得 1+n（p+n）-m=1+pn+n²-m=2n-m．
原式=（2m-n）（2n-m）=5mn-2m²-2n²=9mn-2（m+n）²=9-2（2-p）²=-

7

2

，
解得 p=

9

2

或p=-

1

2

．
∵方程有根，
∴△=（p-2）²-4≥0，

9

2

、-

1

2

均滿足△≥0，
∴p=

9

2

或 p=-

1

2

，
故答案為：

9

2

，-

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，把解代入方程，可得關(guān)于m、n的一元二次方程是解題關(guān)鍵．