Question

【題目】如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD，點(diǎn)P在邊BC上（不與B，C重合），將△ABP沿AP向右翻折，得到△AEP，DE所在直線與AP所在直線交于點(diǎn)F．

（1）如圖，若∠BAP=30°，求∠AFE的度數(shù)；

（2）若點(diǎn)E恰為線段DF的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)通過(guò)運(yùn)算說(shuō)明點(diǎn)P會(huì)在線段BC的什么位置？直接寫出此時(shí)

∠AFD的度數(shù)；

（3）若點(diǎn)P是線段BC上任意一點(diǎn)時(shí)（不與B，C重合），∠AFD的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化？試證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）點(diǎn)P在線段BE的垂直平分線上,45°;

（3）∠AFD的度數(shù)不會(huì)發(fā)生變化，理由見(jiàn)解析

【解析】分析：（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，由折疊得到一對(duì)角相等，再利用正方形性質(zhì)求出∠DAE度數(shù)，在三角形AFD中，利用內(nèi)角和定理求出所求角度數(shù)即可；（2）由E為DF相等，得到P為BC中點(diǎn)，如圖1，連接BE交AF于點(diǎn)O，作EG∥AD，得EG∥BC，得到AF垂直平分BE，進(jìn)而得到三角形BOP與三角形EOG全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到BP=EG=1，得到P為BC中點(diǎn)，進(jìn)而求出所求角度數(shù)即可；（3）若點(diǎn)P是線段BC上任意一點(diǎn)時(shí)（不與B，C重合），∠AFD的度數(shù)不會(huì)發(fā)生變化，理由為：作AG⊥DF于點(diǎn)G，如圖1（a）所示，利用折疊的性質(zhì)及三線合一性質(zhì)，根據(jù)等式的性質(zhì)求出∠1+∠2的度數(shù)，即為∠FAG度數(shù)，即可求出∠F度數(shù)；

本題解析：

（1）∵∠EAP=∠BAP=30°，

∴，

在△ADE中，AD=AE，∠DAE=30°，

∴，

在△AFD中，∠FAD=30°+30°=60°，∠ADF=75°，

∴；

（2）點(diǎn)E為DF的中點(diǎn)時(shí)，P也為BC的中點(diǎn)，理由如下：

如圖1，連接BE交AF于點(diǎn)O，作EG∥AD，得EG∥BC，

∵EG∥AD，DE=EF，

∴，

∵AB=AE，

∴點(diǎn)A在線段BE的垂直平分線上，

同理可得點(diǎn)P在線段BE的垂直平分線上，

∴AF垂直平分線段BE，

∴OB=OE，

∵GE∥BP，

∴∠OBP=∠OEG，∠OPB=∠OGE，

∴△BOP≌△EOG，

∴BP=EG=1，即P為BC的中點(diǎn)，

的度數(shù)為；

（3）∠AFD的度數(shù)不會(huì)發(fā)生變化，

證明：作AG⊥DF于點(diǎn)G，如圖2所示，

在△ADE中，AD=AE，AG⊥DE，

∵AG平分∠DAE，即∠2=∠DAG，且∠1=∠BAP，

∴，即∠FAG=45°，

則．