Question

如圖，經(jīng)過原點(diǎn)的直線交雙曲線y=-

3

x

(x＜0)于點(diǎn)P，過P分別作x軸、y軸的垂線PA、PB，分別交雙曲線y=

k

x

(x＜0)于C、D，連接CD，若

CD

OP

=

2

3

，則k=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

專題：

分析：設(shè)P（a，-

3

a

），則D（-

ak

3

，-

3

a

），C（a，

k

a

）．連接AB，進(jìn)而得出

PC

PA

=

3+k

3

=

PD

PB

，再證明△CPD∽△APB，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得到

PC

PA

=

CD

AB

=

2

3

，那么可用含a的代數(shù)式表示C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出答案．

解答：解：設(shè)P（a，-

3

a

），則D（-

ak

3

，-

3

a

），C（a，

k

a

）．
連接AB，在矩形OAPB中，∵OP=AB，
∴

CD

AB

=

CD

OP

=

2

3

，
∵

PC

PA

=

3+k

3

=

PD

PB

，且∠CPD=∠APB，
∴△CPD∽△APB，
∴

PC

PA

=

CD

AB

=

2

3

，
∴PC=

2

3

PA=

2

3

×（-

3

a

）=-

2

a

，
∴AC=PA-PC=-

3

a

-（-

2

a

）=-

1

a

，
∴C（a，-

1

a

）．
∵雙曲線y=

k

x

(x＜0)經(jīng)過點(diǎn)C，
∴k=a×（-

1

a

）=-1．
故答案為-1．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題以及相似三角形的性質(zhì)和判定，計(jì)算得出

PC

PA

=

3+k

3

=

PD

PB

，進(jìn)而表示出C點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．