Question

已知⊙O₁與⊙O₂的半徑分別為5和4，兩圓相交公共弦的長為6，現(xiàn)作⊙O₂的同心圓使之與⊙O₁相切，求同心圓的半徑．

Answer 1

考點：圓與圓的位置關(guān)系

專題：

分析：根據(jù)⊙O₁的半徑為5，⊙₂的半徑為4，公共弦AB為6，兩圓的圓心的連線與公共弦的交點為C；根據(jù)相交兩圓的性質(zhì)，可得O₁O₂垂直平分AB，利用勾股定理分別求出O₁C和O₂C，分圓心在公共弦的同側(cè)和異側(cè)兩種情況，根據(jù)求出O₁C和O₂C相加和相減求出相應(yīng)的O₁O₂，再分內(nèi)切與外切求解即可．

解答：解：如圖，⊙O₁的半徑為5，⊙₂的半徑為4，公共弦AB=6．
根據(jù)兩圓相交的性質(zhì)，可得O₁O₂⊥AB，且C為AB的中點，即AC=

1

2

AB=3，
在Rt△O₁AC中，O₁C=

52-32

=4，
同理，在Rt△O₂AC中，O₂C=

42-32

=

7

．
圓心在公共弦的異側(cè)時，O₁O₂=O₁C+O₂C=4+

7

，
如果作⊙O₂的同心圓使之與⊙O₁外切，那么同心圓的半徑為4+

7

-5=

7

-1；
如果作⊙O₂的同心圓使之與⊙O₁內(nèi)切，那么同心圓的半徑為4+

7

+5=

7

+9；
圓心在公共弦的同側(cè)時，O₁O₂=O₁C-O₂C=4-

7

，作⊙O₂的同心圓使之與⊙O₁相切，只能內(nèi)切，不能外切，此時同心圓的半徑為5-（4-

7

）=

7

+1．

點評：本題考查了圓與圓的位置關(guān)系，相交兩圓的性質(zhì)和勾股定理．利用分類討論與數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．