Question

【題目】如圖，BD是正方形ABCD的對(duì)角線，BC=2，邊BC在其所在的直線上平移，將通過(guò)平移得到的線段記為PQ，連接PA、QD，并過(guò)點(diǎn)Q作QO⊥BD，垂足為O，連接OA、OP．

（1）請(qǐng)直接寫出線段BC在平移過(guò)程中，四邊形APQD是什么四邊形？

（2）請(qǐng)判斷OA、OP之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明；

（3）在平移變換過(guò)程中，設(shè)y=S△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最大值．

Answer 1

【答案】（1）四邊形APQD為平行四邊形；（2）OA=OP，OA⊥OP；（3）當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)， y=；當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)， y=；當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值為2．

【解析】

試題分析：（1）四邊形APQD為平行四邊形；

（2）OA=OP，OA⊥OP，理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°，∵OQ⊥BD，∴∠PQO=45°，∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°，∴OB=OQ，在△AOB和△OPQ中，∵AB=PQ，∠ABO=∠PQO，BO=QO，∴△AOB≌△OPQ（SAS），∴OA=OP，∠AOB=∠PQO，∴∠AOP=∠BOQ=90°，∴OA⊥OP；

（3）如圖，過(guò)O作OE⊥BC于E．

①如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，則BQ=x+2，OE=，∴y=×x=，即，又∵0≤x≤2，∴當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值為2；

②如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)，則BQ=2﹣x，OE=，∴y=×x=，即，又∵0≤x≤2，∴當(dāng)x=1時(shí)，y有最大值為；

綜上所述，當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)， y=；當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)， y=；

∴當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值為2；