Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知Rt△AOB的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸上，且OA、OB的長滿足|OA﹣8|+（OB﹣6）²=0，∠ABO的平分線交x軸于點(diǎn)C過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E．

（1）求線段AB的長；

（2）求直線CE的解析式；

（3）若M是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使以A、B、M、P為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

　

　

Answer 1

 解：（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2=0，

∴OA=8，OB=6，

在直角△AOB中，AB===10；

（2）在△OBC和△DBC中，

，

∴△OBC≌△DBC，

∴OC=CD，

設(shè)OC=x，則AC=8﹣x，CD=x．

∵△ACD和△ABO中，∠CAD=∠BAO，∠ADC=∠AOB=90°，

∴△ACD∽△AOB，

∴，即，

解得：x=3．

即OC=3，則C的坐標(biāo)是（﹣3，0）．

設(shè)AB的解析式是y=kx+b，根據(jù)題意得

解得：

則直線AB的解析式是y=x+6，

設(shè)CD的解析式是y=﹣x+m，則4+m=0，則m=﹣4．

則直線CE的解析式是y=﹣x﹣4；

（3）設(shè)直線BC的解析式是y=nx+d，則，

解得：，

則直線BC的解析式是y=2x+6．

設(shè)經(jīng)過A且與AB垂直的直線的解析式是y=﹣x+e，則+e=0，解得：e=﹣，

則過A且與AB垂直的直線的解析式是y=﹣x﹣．

根據(jù)題意得：，

解得：，

則M的坐標(biāo)是（﹣5，﹣4）．

當(dāng)四邊形ABPM是矩形時(shí)，同理求得過B且與AB垂直的直線的解析式是y=﹣x+6，

過M且與直線AB平行的直線的解析式是y=x+．

則，

解得：，

則P的坐標(biāo)是（，）．

當(dāng)APBM是矩形時(shí)，線段AB的中點(diǎn)是（﹣4，3），設(shè)P的坐標(biāo)是（e，f），

則﹣+e=﹣4，﹣+f=6，

解得：e=﹣，f=，

則P的坐標(biāo)是（﹣，）．