Question

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)和，與軸交于另一點(diǎn)，且對稱軸是．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若是上的一點(diǎn)，作，交于點(diǎn)，當(dāng)的面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）是軸上的點(diǎn)，過作軸，與拋物線交于點(diǎn)，過作軸于，是否存在點(diǎn)，使以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形相似？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為，，或．

【解析】

（1）設(shè)拋物線的解析式為，將原點(diǎn)和代入；列出方程組即可解答；
（2）求出點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)M，根據(jù)，得

，列出相似比得到，再由，得到關(guān)于m的二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答；
（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，分兩種情況進(jìn)行討論，①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，分別列出相似比，得到關(guān)于n的方程即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為，將原點(diǎn)和代入得：

解得

所以

（2）由，得，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

由，得

∴

∴

∴

∴當(dāng)時(shí)，最大

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為

（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為

①當(dāng)時(shí)，則

∴

∴

解這個(gè)方程，得，（不合題意，舍去），

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或

②當(dāng)時(shí)，

∴

∴

解這個(gè)方程，得，（不合題意，舍去），

∴點(diǎn)的坐標(biāo)系為或

綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，或．