Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點(diǎn)，，交軸于點(diǎn)，且拋物線的對(duì)稱軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于另一點(diǎn)，點(diǎn)是該拋物線上一點(diǎn)，連接，，，．

（1）求直線及拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）試問(wèn)：軸上是否存在某一點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的與相似？若相似，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若點(diǎn)是直線上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），過(guò)作交直線于點(diǎn)，以為直徑作，則在直線上所截得的線段長(zhǎng)度的最大值等于_______．（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1） ；（2）相似，或；（3）

【解析】

(1)由二次函數(shù)的對(duì)稱性及B點(diǎn)坐標(biāo)先求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入中求出AD的解析式即可，再將A、B點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式中，結(jié)合對(duì)稱軸聯(lián)立方程組求出二次函數(shù)解析式.

(2)先計(jì)算出 ，此時(shí)AD∥BE，再分情況討論P點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)和P點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)的情形.

(3) 設(shè)在直線上所截得的線段為NK，過(guò)K點(diǎn)作KI⊥x軸于I點(diǎn)，NJ⊥x軸于J點(diǎn)，PK⊥NJ于P點(diǎn)，設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為()，將N，K坐標(biāo)分別用m的代數(shù)式表示，最后利用即可求解.

（1）由題可知，對(duì)稱軸：，點(diǎn)

則點(diǎn)

得

直線

由題可得

解得，，

拋物線的函數(shù)關(guān)系式

（2）點(diǎn)在拋物線上

即

易求得直線

由題可得：

直線交拋物線于點(diǎn)，

可知，

則：

，，，

，，

設(shè)

①若點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)

（i）當(dāng)時(shí)

則

即：

即：點(diǎn)

（ii）當(dāng)時(shí)

則

即：

即：點(diǎn)

②若點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)

，

又

此時(shí)，與不相似

（3）在直線上所截得的線段長(zhǎng)度的最大值等于，如下圖所示：

設(shè)在直線上所截得的線段為NK，過(guò)K點(diǎn)作KI⊥x軸于I點(diǎn)，NJ⊥x軸于J點(diǎn)，PK⊥NJ于P點(diǎn)，

設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為()

∵BE⊥MN，∴，且

∴

∴直線MN的解析式為：，與直線BC聯(lián)立方程組：

解得N點(diǎn)坐標(biāo)為

∵MN是圓O的直徑，∴∠MKN=90°

∴MK⊥BC，即，且

∴直線MK的解析式為：，與直線BC聯(lián)立方程組：

解得K點(diǎn)坐標(biāo)為

由圖像可知，

∴

∴當(dāng)時(shí)，最大值等于.

故答案為：.