【題目】在四邊形ABCD中,AC、BD交于點E,且∠ACD=∠ADC.

(1)如圖1,若AB=AD,求證:∠BAC=2∠BDC;

(2)如圖2,在(1)的條件下,若∠BDC=30°,求證:BC=AC.

(3)如圖3,若BC=AD,∠BDC=30°,過A作AE⊥BD于E,過C作CF⊥BD于F, 且EF:BE=2:11,DF=9,求BD的長.

【答案】(1)證明見解析;

(2)證明見解析;

(3)BD的長為22.

【解析】試題分析:(1)△ABC和△BCD中,理由三角形內(nèi)角和定理及等角對等邊進行等量代換即可;(2)先由等角對等邊、等量代換得出△ABC是等腰三角形,再由∠BDC=30°,∠BAC=2∠BDC得出△ABC是等邊三角形,即可得出結(jié)果;(3)由已知可得AB=AD,由等腰三角形的性質(zhì)即可求得.

試題解析:(1

ABC中,∠1+2+3+4=180°,

BCD中,∠3+4+6+7=180°,

∴∠1+∠2=∠6+∠7,

∵∠ACD=∠ADC,即∠7=∠5+∠6,

∴∠1+2=6+5+6,

AB=AD,

∴∠2=∠5,

∴∠1+5=6+5+6,

∴∠1=2∠6,

即∠BAC=2∠BDC.

(2)∵∠ACD=∠ADC,

∴AC=AD,

∵AB=AD,

∴AC=AB,

∴△ABC是等腰三角形,

∵∠BDC=30°,

∴∠BAC=2∠BDC=60°,

△ABC是等邊三角形,

∴BC=AC.

(3)由題可知AB=AD,

∵AE⊥BD,

∴BE=DE.

設(shè)EF=2x,BE=11x,

則2x+9=11x,x=1,

∴BD=13+9=22.

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