Question

如圖所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，試在腰AB上確定點(diǎn)P的位置，使得以P，A，D為頂點(diǎn)的三角形與以P，B，C為頂點(diǎn)的三角形相似．

Answer 1

解：（1）若點(diǎn)A，P，D分別與點(diǎn)B，C，P對(duì)應(yīng)，即△APD∽△BCP，
∴=，
∴=，
∴AP²-7AP+6=0，
∴AP=1或AP=6，
檢測(cè)：當(dāng)AP=1時(shí)，由BC=3，AD=2，BP=6，
∴=，
又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．
當(dāng)AP=6時(shí)，由BC=3，AD=2，BP=1，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△APD∽△BCP．

（2）若點(diǎn)A，P，D分別與點(diǎn)B，P，C對(duì)應(yīng)，即△APD∽△BPC．
∴=，∴=，∴AP=．
檢驗(yàn)：當(dāng)AP=時(shí)，由BP=，AD=2，BC=3，
∴=，
又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BPC．
因此，點(diǎn)P的位置有三處，即在線段AB距離點(diǎn)A的1、、6處．
分析：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，選擇適宜的判定方法．解題時(shí)要注意一題多解的情況，要注意別漏解．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)；判定為：
①有兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似；
②有兩個(gè)對(duì)應(yīng)邊的比相等，且其夾角相等，則兩個(gè)三角形相似；
③三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，則兩個(gè)三角形相似；性質(zhì)為相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．