如圖,已知點O為Rt△ABC斜邊AB上一點,以O為圓心,OA為半徑的圓與BC相切與點D,與AB相交于點E。
(1)試判斷AD是否平分∠BAC?并說明理由;
(2)若BD=3BE,CD=3,求?O的半徑。
解:(1)判斷:AD平分∠BAC,
證法一:連接OD.
∵BC切⊙O與D,∴OD⊥BC,又△ABC為Rt△,且∠C=90°.
∴AC⊥BC ∴OD∥AC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠3.
證法二,連接ED.
∴AE是⊙O直徑,∴∠ADF=90°,∴∠3+∠AED=90°.又∠C=90°
∴∠1+∠ADC=90°.又∠AED=∠ADC ∴∠1=∠3.
證法三,連接EF,DF.
∵AE是⊙0直徑,∴∠AFE=90°,又ACE=90°,∴∠AFE=∠ACB,∴EF∥BC,
∴∠4=∠5.又∠3=∠4,∠1=∠5,∴∠1=∠3
(2) 解法:設BE-x,則BD=3BE=3x.據(jù)切割線定理得 BD2=BE?BA.得AB-9x, OA=OE-4x.又OD∥AC,∴∴∴∴⊙O的半徑為5.
解法二:如圖2,過O作OG⊥AC,又AC⊥BC,OD⊥BC,則四邊形ODCG為矩形。
∴OG=CD=3,OG∥BC,又OG∥BC,∴ ∴∴,x=0(舍去)∴⊙O的半徑為5.
備注:本解法是在解法一得AB=9x,OA=OE=4x的基礎上進行的。
解法三:如圖(1)∠3=∠BDE,∠EBD=∠DBA,∴,又BD=3BE,∴.
又DC=3,則AC=9,在Rt△ADC中,AD=,在Rt△ AED中,AE=∴⊙O的半徑的長為.
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