Question

已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點是C，它與x軸的兩個不同交點是A和B，若點C到x軸的距離等于A，B兩點間距離的k倍，求證：b²-4ac=16k²．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：證明題

分析：先寫出拋物線的頂點坐標(biāo)為（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）和拋物線與x軸兩交點的距離公式|x₁-x₂|=

b2-4ac

|a|

，然后分類討論：當(dāng)a＞0，A，B兩點間距離=

b2-4ac

|a|

=

b2-4ac

a

，點C到x軸的距離-

4ac-b2

4a

，則-

4ac-b2

4a

=k•

b2-4ac

a

；當(dāng)a＜0，A，B兩點間距離=

b2-4ac

|a|

=-

b2-4ac

a

，點C到x軸的距離

4ac-b2

4a

，根據(jù)題意得

4ac-b2

4a

=k•（-

b2-4ac

a

），再分別進行等式變形即可得到b²-4ac=16k²．

解答：證明：拋物線的頂點坐標(biāo)為（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）
當(dāng)a＞0，A，B兩點間距離=

b2-4ac

|a|

=

b2-4ac

a

，點C到x軸的距離-

4ac-b2

4a

，
根據(jù)題意得-

4ac-b2

4a

=k•

b2-4ac

a

，即b²-4ac=4k•

b2-4ac

，
所以

b2-4ac

=4k，
所以b²-4ac=16k²；
當(dāng)a＜0，A，B兩點間距離=

b2-4ac

|a|

=-

b2-4ac

a

，點C到x軸的距離

4ac-b2

4a

，
根據(jù)題意得

4ac-b2

4a

=k•（-

b2-4ac

a

），即b²-4ac=4k•

b2-4ac

，
所以

b2-4ac

=4k，
所以b²-4ac=16k²；
綜上所述，b²-4ac=16k²．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點：求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標(biāo)，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標(biāo)．也考查了拋物線與x軸兩交點的距離公式|x₁-x₂|=

b2-4ac

|a|

（x₁、x₂為拋物線與x軸兩交點的橫坐標(biāo)）．