Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣3的部分圖象與x軸交于點(diǎn)A、

B（A在B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，D為頂點(diǎn)．

（1）求∠OBC的度數(shù)；

（2）在x軸下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使△ABQ的面積等于5？如存在，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)，如不存在，說(shuō)明理由；

（3）點(diǎn)P是第四象限的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），過(guò)點(diǎn)P作PF⊥x軸交BC于點(diǎn)F，求線段PF長(zhǎng)度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）∠OBC=45°；（2）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）或（，）；（3）PF的最大值是．

【解析】

（1）由拋物線已知，則可求三角形OBC的各個(gè)頂點(diǎn)，易知三角形形狀及內(nèi)角．
（2）因?yàn)閽佄锞�已固定，利用設(shè)點(diǎn)Q到AB的距離為a以及△ABQ的面積等于5，求出a的值，然后代入二次函數(shù)的表達(dá)式，即可求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）PF的長(zhǎng)度即為yF-yP．由P、F的橫坐標(biāo)相同，則可直接利用解析式作差．由所得函數(shù)為二次函數(shù)，則可用二次函數(shù)性質(zhì)討論最值，解法常規(guī)．

（1）∵y=x2-2x-3=（x-3）（x+1），

∴當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，當(dāng)y=0時(shí)，x=-1或x=3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)A（-1，0），

∴OC=3，OB=3，

∴OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∵∠BOC=90°，

∴∠OBC=∠OCB=45°，

即∠OBC=45°；

（2）在x軸下方的拋物線上存在一點(diǎn)Q，使△ABQ的面積等于5，

∵點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)A（-1，0），

∴AB=4，

設(shè)點(diǎn)Q到AB的距離為a，

∵△ABQ的面積等于5，

∴=5，得a=，

∵點(diǎn)Q在x軸下方，

∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)是-，

將y=-代入y=x2-2x-3，得

-=x2-2x-3，

解得，x=，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，）或（，）；

（3）

設(shè)過(guò)點(diǎn)C（0，-3）和點(diǎn)B（3，0）的直線解析式為y=kx+b，

，得，

∴直線BC的函數(shù)解析式為y=x-3，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m2-2m-3），

將x=m代入y=x-3，得y=m-3，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，m-3），

∴PF=m-3-（m2-2m-3）=-m2+3m=-（m-）2+，

∴當(dāng)m=時(shí)，PF取得最大值，此時(shí)PF=，

即PF的最大值是．