Question

如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），C（0，3），它的頂點(diǎn)為M，又正比例函數(shù)y=kx的圖象于二次函數(shù)相交于兩點(diǎn)D、E，且P是線段DE的中點(diǎn)．
（1）求該二次函數(shù)的解析式，并求函數(shù)頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）已知點(diǎn)E（2，3），且二次函數(shù)的函數(shù)值大于正比例函數(shù)時(shí)，試根據(jù)函數(shù)圖象求出符合條件的自變量x的取值范圍；
（3）0＜k＜2時(shí)，求四邊形PCMB的面積s的最小值．
【參考公式：已知兩點(diǎn)D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則線段DE的中點(diǎn)坐標(biāo)為(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)】

Answer 1

分析：（1）已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），C（0，3），可求二次函數(shù)解析式，并確定頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）把E（2，3）代入y=kx中得正比例函數(shù)解析式，聯(lián)立正比例函數(shù)解析式和拋物線解析式，可得D點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圖象求出符合條件的x的范圍；
（3）求直線與拋物線的交點(diǎn)D，E的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出P點(diǎn)坐標(biāo)，利用割補(bǔ)法表示四邊形PCMB的面積，然后求最小值．

解答：解：（1）由y=ax²+bx+c，則得

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得

a=-1 b=2 c=3

，
故函數(shù)解析式是：y=-x²+2x+3．
由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4知，
點(diǎn)M（1，4）．

（2）由點(diǎn)E（2，3）在正比例函數(shù)y=kx的圖象上得，3=2k，得k=

3

2

，
故y=

3

2

x，
由

y= 3 2 x y=-x2+2x+3

，
解得D點(diǎn)坐標(biāo)為（-

3

2

，-

9

4

），
由圖象可知，當(dāng)二次函數(shù)的函數(shù)值大于正比例函數(shù)時(shí)，自變量x的取值范圍是-

3

2

＜x＜2．

（3）

y=kx y=-x2+2x+3

，
解得，點(diǎn)D、E坐標(biāo)為D（

2-k- k2-4k+16

2

，

2-k- k2-4k+16

2

•k）、
E（

2-k+ k2-4k+16

2

，

2-k+ k2-4k+16

2

•k），
則點(diǎn)P坐標(biāo)為P（

2-k

2

，

2-k

2

•k）由0＜k＜2，知點(diǎn)P在第一象限．
由點(diǎn)B（3，0），C（0，3），M（1，4），
得S_{四邊形COBM}=

1×(3+4)

2

+

1

2

×2×4=

15

2

，
則S_{四邊形PCMB}=

15

2

-S△OPC-S△OPB=

15

2

-

1

2

×3×

2-k

2

-

1

2

×3×

2-k

2

•k，
整理，配方得S_{四邊形PCMB}=

3

4

(k-

1

2

)2+

93

16

．
故當(dāng)k=

1

2

時(shí)，四邊形PCMB的面積值最小，最小值是

93

16

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的求法，學(xué)會(huì)用兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)橫坐標(biāo)表示兩個(gè)函數(shù)值的大小關(guān)系，并對(duì)二次函數(shù)進(jìn)行運(yùn)用．