Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)，與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為．

（1）求拋物線(xiàn)的解析式及點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)M為x軸下方拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，連接MA、MB、BC，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，四邊形AMBC面積最大，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及四邊形AMBC的面積；

（3）如圖2，若點(diǎn)是半徑為2的⊙上一動(dòng)點(diǎn)，連接、，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，的值最小為_________．(直接寫(xiě)出結(jié)果)

Answer 1

【答案】（1），B(5，0)；（2）M(3,-4)時(shí)，四邊形AMBC面積最大，最大面積等于18；（3）

【解析】

(1)由直線(xiàn)y=-5x+5求點(diǎn)A、C坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求拋物線(xiàn)解析式，進(jìn)而求得點(diǎn)B坐標(biāo)；
(2)從x軸把四邊形AMBC分成△ABC與△ABM；由點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)求ABC面積；設(shè)點(diǎn)M橫坐標(biāo)為m，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線(xiàn)段MH，則能用m表示MH的長(zhǎng)，進(jìn)而求△ABM的面積，得到△ABM面積與m的二次函數(shù)關(guān)系式，且對(duì)應(yīng)的a值小于0，配方即求得m為何值時(shí)取得最大值，進(jìn)而求點(diǎn)M坐標(biāo)和四邊形AMBC的面積最大值；
(3)作點(diǎn)D坐標(biāo)為(4,0)，可得BD=1，進(jìn)而有，再加上公共角∠PBD=∠ABP，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等可證△PBD∽△ABP，得等于相似比，進(jìn)而得到PD=AP，所以當(dāng)C、P、D在同一直線(xiàn)上時(shí)，PC+PA=PC+PD=CD最小，用兩點(diǎn)間的距離公式即可求出CD的長(zhǎng).

(1)直線(xiàn)y=-5x+5，x=0時(shí)，y=5，
∴C(0,5)，
當(dāng)y=-5x+5=0時(shí)，解得x=1，
∴A(1,0)，
∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，
∴ ，解得，
∴拋物線(xiàn)解析式為，
當(dāng)=0時(shí)，解得，，

∴B（5,0）；

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥x軸于H，

∵ A(1,0)，B(5,0),C(0,5)，
∴AB=5-1=4，OC=5，
∴，
∵點(diǎn)M為x軸下方拋物線(xiàn)上的點(diǎn)
∴設(shè)M(m,m2-6m+5)(1<m<5)，
∴MH=|m2-6m+5|=-m2+6m-5，
∴，
∴S四邊形AMBC=S△ABC+S△ABM=，
∴當(dāng)m=3，即M(3,-4)時(shí)，四邊形AMBC面積最大，最大面積等于18；

（3）如圖2，在x軸上取點(diǎn)D（4,0），連接PD、CD，

∴BD=5-4=1，

∵AB=4，BP=2，
∴，

∵∠PBD=∠ABP，
∴△PBD∽△ABP，
∴，
∴PD=AP，
∴PC+PA=PC+PD，
當(dāng)點(diǎn)C.P、D在同一直線(xiàn)上時(shí)，PC+PA=PC+PD=CD最小，

∵，

∴PC+PA的最小值為，

故答案為：.