Question

如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為10，BD⊥AC于點(diǎn)D，點(diǎn)M在AB上，AM=4，在BD上找一點(diǎn)P，使PN+PA最小，求這個(gè)最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱(chēng)-最短路線問(wèn)題,等邊三角形的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得A、C關(guān)于BD對(duì)稱(chēng)，從而求得PA=PC，進(jìn)而得出PA+PM=PC+PM=CM，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知CE就是PM+PA最小值，作CQ⊥AB于Q，得出AQ=

1

2

AB=5，CQ=5

3

，最后根據(jù)勾股定理即可求得CM．

解答：解：連接CM，交BD于P，
∵在等邊△ABC中，BD⊥AC，
∴BD是AC的垂直平分線，
∴A、C關(guān)于BD對(duì)稱(chēng)，
∴PA=PC，
∴PA+PM=PC+PM=CM，
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知CE就是PM+PA最小值，
作CQ⊥AB于Q，
∴AQ=

1

2

AB=5，CQ=5

3

，
∵AM=4，
∴MQ=5-4=1，
∴CM=

MQ2+CQ2

=2

19

，
∴PM+PA最小值為2

19

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和軸對(duì)稱(chēng)及勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用．根據(jù)已知得出兩點(diǎn)之間線段最短可得CE就是AP+PE的最小值是解題關(guān)鍵．